¿Las funciones continuas "preservan los límites" entre espacios en los que la unicidad de los límites no está garantizada?

Question

Hasta donde yo sé (creo que no me equivoco), es cierto lo siguiente: "Dados dos espacios de Hausdorff $X$ y $Y$ y $f$ una correspondencia entre ellos, las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

1. $f$ es continua
2. Dada una secuencia $(x_n)$ convergiendo hacia $x$ entonces la secuencia $(f(x_n))$ converge a $f(x)$ "

Mi pregunta es: ¿se puede generalizar esto en el caso de "convergencia sin unicidad"? Siendo la generalización propuesta:

"Dados dos espacios topológicos $X$ y $Y$ una cartografía $f$ entre ellas es continua si y sólo si, para cualquier secuencia $(x_n)$ que convergen a un conjunto de puntos $A$ la secuencia correspondiente $(f(x_n))$ es convergente y converge al conjunto $f(A)$ "

Me importa especialmente la parte de "sólo si", porque la necesito para otros resultados que intento conseguir. Por supuesto, ya tengo una prueba para esta parte que creo que es correcta, pero planteo aquí esta pregunta para poner esta prueba a prueba del escrutinio colectivo. La prueba en cuestión:

"Let $X$ y $Y$ sean espacios topológicos, y $f$ sea un mapeo continuo entre ellos. Sea $(x_n)$ sea una sucesión que converge a un conjunto $A$ , dejemos que $x$ sea un punto de A. Entonces, para cada abierto $G$ que contiene a x, existe una cierta $n_0$ tal que para cualquier $n > n_0$ , $x_n$ está en $G$ .

Sea $H$ ser una in $Y$ tal que $f(x)$ está en $H$ . Entonces $f^{-1}(H)$ es una in $X$ que contiene $x$ . Entonces existe $n_0$ con la propiedad anterior para $f^{-1}(H)$ . Pero

$$x_n\in f^{-1}(H) \Leftrightarrow f(x_n) \in H$$

Entonces $f(x)$ es un punto límite de la sucesión $(f(x_n))$ ."

¿Es correcta esta prueba? Además, ¿es cierta la otra implicación? Gracias por su atención.

Answer 1

La afirmación contraria es falsa. Sea $\tau_{\rm{usual}}$ sea la topología habitual en $\mathbb R$ y $\tau_{cc}$ sea la topología contable en $\mathbb R$ es decir : $$\tau_{cc} = \{U\subset \mathbb R~|~U= \emptyset \text{ or } X\backslash U\text{ is at most countable} \}$$

Entonces, $\tau_{cc}$ no es Hausdorff y una secuencia en $(\mathbb R , \tau)$ es convergente si, y sólo si, es eventualmente constante.

Por lo tanto, la identidad $\text{id}:(\mathbb R,\tau_{cc}) \to (\mathbb R, \tau_{\rm{usual}})$ envía secuencias convergentes a secuencias convergentes (y puntos límite a puntos límite) pero no es continua.

Answer 2

La afirmación 2 sólo dice que si $x$ resulta ser uno de los puntos en los que una secuencia $(x_n)_n$ converge a, entonces $f(x)$ es también uno de los puntos que $(f(x_n))_n$ converge a.

O en notación lógica:

$$\forall (x_n)_n \subseteq X: \forall x \in X: (x_n \to x) \implies (f(x_n) \to f(x))\tag{1}$$

Hay sin suposición de unicidad de límites en absoluto. Además, al tener $(1)$ es cierto que si $A$ es el conjunto de todos los límites de $((x_n))_n$ (que es, creo, lo que quiere decir con " $(x_n)$ converge a $X$ ", aunque no es una definición habitual) entonces $f[A]$ es un subconjunto de todos los límites de $(f(x_n))_n$ esto se deduce directamente de $(1)$ Por lo tanto, no se puede generalizar.

Su prueba para $(1)$ (es decir, la afirmación 2) de la continuidad está bien. Hausdorffness en $X$ ou $Y$ no es necesario en absoluto.

Como ya ha dicho @SolubleFish, lo contrario, es decir, 1 a partir de 2 no es cierto en general, aunque sí lo es es verdadero cuando $X$ es un espacio secuencial una de las razones por las que se introdujo esta noción. Así, por ejemplo, en el ámbito de los espacios métricos $X$ , $2 \to 1$ se mantiene, mientras que $1 \to 2$ es válida para todos los espacios.