¿Cómo calcular este límite multivariable?

Question

Estoy tratando de repasar para mi final y necesito ayuda para resolver este problema que se dio en una tarea pasada. La respuesta que obtengo es $-4/3$ pero la respuesta correcta es el límite DNE. Sé que puedo abordar este problema probando diferentes caminos, pero la forma en que mi profesor lo enseñó fue utilizar las matemáticas $y = mx$ . ¿Puede alguien guiarme paso a paso?

$$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{\sin(2x) - 2x + y}{x^3 + y}$$

Answer 1

Puedes hacer la expansión de Taylor en $\sin 2x$ dando $\frac {-\frac {8x^3}{6} + y}{x^3 + y}$

Si fijamos y=0 y dejamos que x se acerque a cero, el límite parecería ser $-\frac 43$ pero si fijamos x = 0 y dejamos que y se aproxime a 0 el límite parecería ser $1$

$\lim_\limits{x\to 0} f(x,0) \ne \lim_\limits{y\to 0} f(0,y)$

Si el límite existe, debe ser el mismo a lo largo de todas las trayectorias hacia 0.

Answer 2

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\sin(2x)-2x+y}{x^3+y}$$

A lo largo de la línea $x=0$ (eje y), tenemos $\dfrac{\sin(2x)-2x+y}{x^3+y}\to\dfrac{\sin(0)-0+y}{0^3+y}=\dfrac{y}{y}=1$

A lo largo de la línea $y=x^3$ tenemos $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)-2x+x^3}{x^3+x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)-2x+x^3}{2x^3}$

Ahora, $$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(2x)-2x+x^3}{2x^3}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2\cos(2x)-2+3x^2}{6x^2}(LH)=\lim_{x\to 0}\dfrac{-4\sin(2x)+6x}{12x}(LH)=\lim_{x\to 0}\dfrac{-8\cos(2x)+6}{12}=\dfrac{-8+6}{12}=\dfrac{-2}{12}=\dfrac{-1}{6}$$

$(LH)$ significa que apliqué la regla de L'Hopital. Claramente dos límites diferentes, por lo tanto no existen