¿Generalización del lema du Bois-Reymond en dimensión 2?

Question

El lema de du Bois-Reymond es el siguiente:

Sea $ f \in L^1 (a,b) $ s \begin{equation*} \int^b_a f(t) \varphi'(t) dt =0, \ \ \forall \varphi \in C^{\infty}_0(a,b), \end{equation*} entonces $ f(t) = c, \ a.e. \ t \in (a,b)$ .

Ahora nos planteamos generalizarlo al caso de dimensión $ 2 $ con derivadas parciales mixtas:

Supongamos que $ g \in L^1((a,b)\times(a,b))$ a \begin{equation*} \int^b_a\int^b_a g \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x \partial y} dxdy =0, \ \ \forall \varphi \in C^{\infty}_0((a,b)\times(a,b)). \end{equation*} ¿Podemos afirmar que $ g = c_0 p (x) +c_1 q(y) +c_2, \ a.e. \ (x,y) \in (a,b) \times (a,b) $ ?

Answer 1

Su condición significa que el $(a,b)^2$ , tienes $ \frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}=0 $ en el sentido de distribución. El resultado es $$ \frac{\partial g}{\partial y}=1\otimes \beta(y),\quad\text{that is a distribution "depending only on $ y $",} $$ lo que implica que $ g=A(x)\otimes 1+ 1\otimes B(y), $ donde $A,B$ son distribuciones en $(a,b)$ . Desde $g$ pertenece a $L^1((a,b)^2)$ esto implica que tanto $A,B$ pertenecen a $L^1((a,b))$ .