Operadores vectoriales en base esférica

Question

Esta pregunta es sobre las componentes de un operador vectorial en la base esférica. En el espacio euclídeo real 3D, un vector $\mathbf{v}$ puede expandirse en las componentes cartesianas estándar como $$ \mathbf{v} = v^x \,\mathbf{e}_x + v^y \,\mathbf{e}_y + v^z \,\mathbf{e}_z = v^i \,\mathbf{e}_i $$ donde se asume la convención de la suma. Si ahora, en cambio, se considera un espacio complejo, se puede introducir una base diferente (base esférica), que yo siempre veo definida como $$ \mathbf{e}_{\pm 1} = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \,(\mathbf{e}_x \pm i \mathbf{e}_y) \\ \mathbf{e}_0 = \mathbf{e}_z \tag{1} \label{1} $$ El vector $\mathbf{v}$ puede expandirse ahora en esta base esférica como $\mathbf{v} = v^q \,\mathbf{e}_q$ . Sustituyendo las relaciones entre los vectores de base esférica y cartesiana, se obtiene que estas componentes vienen dadas por $$ v^{\pm 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \,(\mp v^x + i v^y) \\ v^0 = v^z \tag{2} \label{2} $$ En mecánica cuántica, un operador vectorial $\mathbf{V}$ se define como un conjunto de operadores que satisfacen la relación de conmutación $[J_i, V_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} V_k$ con el operador de momento angular $\mathbf{J}$ . Por tanto, parece razonable definir las componentes esféricas de dicho operador vectorial de forma análoga a las de un vector 3D mediante \eqref {2}. Sin embargo, con esta definición se encontraría que estos componentes, llámense $V^q$ no formaría un operador tensor esférico $V_q^1$ definida por las relaciones $$ [J_z, V_q^k] = \hbar \,q \,V_q^k \\ [J_{\pm}, V_q^k] = \hbar \sqrt{k(k+1) - q(q\pm 1)} \,V_{q\pm 1}^k $$ En su lugar, las componentes esféricas de un operador vectorial suelen definirse como (véase Biedenharn y Louck "Angular momentum in quantum physics" o Sobel'man "Introduction to the theory of atomic spectra", por ejemplo) $$ V_{\pm 1}^1 = \mp \frac{1}{\sqrt{2}} \,(V_x \pm i V_y) \\ V_0^1 = V_z \tag{3} \label{3} $$ y forman un operador tensor esférico de rango k=1.

Entonces, ¿por qué se elige la base esférica como en \eqref {1} si los componentes resultantes en \eqref {2} no se toman como "las componentes esféricas de un operador vectorial"? Más bien, las componentes definidas mediante \eqref {3}.

Answer 1

Permite escribir las relaciones de conmutación utilizando la tecnología de Clebsch-Gordan $$ [\hat J_\mu,{\cal M}_{JM}]= \sqrt{J(J+1)} C^{J,M+\mu}_{JM 1\mu} {\cal M}_{JM+\mu}\, , $$ construir tensores compuestos utilizando la tecnología de Clebsch-Gordan, y factorizar los elementos de la matriz en una parte reducida y un coeficiente de Clebsch-Gordan. Los signos adicionales pueden deducirse observando los distintos armónicos esféricos expresados en términos de coordenadas cartesianas, v.g. \begin{align} Y^{-1}_1(\theta,\varphi)&=+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}} \frac{x-iy}{r}\, ,\\ Y^{1}_1(\theta,\varphi)&=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}} \frac{x+iy}{r}\, . \end{align}

(De hecho, el factor de normalización $\sqrt{J(J+1)}$ no es más que el elemento matricial reducido del operador tensorial).