Explicación necesaria de la norma espinor

Question

Wikipedia y Groupprops dieron una definición, pero no elaboraron, así que no entiendo, y no hay fuentes citadas en ellos.

1. ¿Existe alguna fuente en línea que tenga pruebas sobre su propiedad básica, como que la norma del espinor está bien definida, o que su núcleo es el subgrupo derivado de SO y es normal?

2. ¿Por qué se llama norma "espinor", tiene alguna relación con el espinor?

3. ¿Cuál es su significado geométrico? Entiendo que este mapa es trivial para R y C, por lo que el significado "geométrico" puede ser difícil, pero espero que haya algo parecido para Q, por ejemplo.

Answer 1

No estoy seguro de que haya una fuente en línea, pero puedes consultar la sección 9.3 de Quadratic and Hermitian Forms de Scharlau, hay una cantidad razonable de detalles.

Se denomina norma espinor porque en realidad está definida de forma natural en el grupo espinor. En efecto, se tiene una involución natural $x\mapsto \sigma(x)$ en el álgebra de Clifford $C(V,q)$ de un espacio cuadrático $(V,q)$ (que se caracteriza por ser la identidad en $V$ ), y así se tiene una "norma" $N: C(V,q)\to C(V,q)$ dada por $x\mapsto x\sigma(x)$ . (Esto puede recordar a la norma del cuaternión.) Entonces, si se restringe $N$ al grupo espinor $\Gamma(V,q)\subset C(V,q)$ en realidad se obtiene un morfismo de grupo $\Gamma(V,q)\to K^*$ que induce la norma espinor $O(V,q)\to K^*/K^{*2}$ .

Nótese que no es cierto que la norma del espinor sea trivial sobre $\mathbb{R}$ es trivial para el producto escalar habitual, pero existen otras formas cuadráticas sobre $\mathbb{R}$ para la que la norma espinor no tiene por qué ser trivial.