Estaba leyendo Topología de Munkres y me confundí con la definición de subbase. ¿Cuál es la diferencia entre base y subbase en una topología?
Las bases y subbases "generan" una topología de diferentes maneras. Todo conjunto abierto es una unión de elementos de base. Todo conjunto abierto es una unión de intersecciones finitas de elementos de subbase.
Por esta razón, podemos tomar un conjunto más pequeño como nuestra subbase, y eso a veces facilita la demostración de cosas sobre la topología. Conseguimos utilizar un conjunto más pequeño para nuestra demostración, pero pagamos por ello; con una subbase tenemos que preocuparnos por las intersecciones finitas, mientras que no teníamos que preocuparnos por eso en el caso de una base.
¿Es correcto decir que si un elemento $x$ pertenece a un elemento de la sub-base $S_{1}$ entonces también pertenece al elemento base $S_{1}$ porque $S_{1}$ es simplemente una intersección finita de $S_{1}$ con ella misma?
Sí. Una forma de decirlo es que si tengo una subbase S, entonces hay una base B asociada a esa subbase que son todas las intersecciones finitas de elementos de S. Y $S \subset B$ . Recuerde también que las bases/subbases de una topología no son únicas: algunas bases/subbases de una topología $\mathcal{T}$ puede incluir su conjunto $S_1$ mientras que otros lo excluyen.
Considere $S=\{\{0,1\},\{0,2\}\}$ . ¿Cuál es el espacio topológico $T(S)$ generado por $S?$ Por definición, $S$ será entonces una subbase de $T(S)$ .
Bueno, queremos que todos los requisitos se cumplan y que $T(S) = \{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}, \{0,2\}, \{0,1,2\}\}$ (¡comprueba esto!).
Es $S$ ¿una base? No, porque no se puede escribir $\{0\}$ como la unión de cualquier elemento de $S$ .
Así que ves que subbase y base son dos nociones diferentes, incluso para un ejemplo muy básico.
Se puede pensar en una subbase, y de hecho se define como el "conjunto más pequeño que se convierte en mi espacio topológico si lo completo bajo la propiedad de siendo un espacio topológico es decir, que cumple los axiomas del espacio topológico".
No obstante, ambos términos están relacionados. Toda base es una subbase, y en una de las definiciones equivalentes de subbase encontrarás que ya obtienes una base de tu subbase.
¿No debería una subbase ser capaz de producir cada elemento de la topología construyendo la unión de intersecciones de elementos de la subbase, donde las intersecciones tienen que ser finitas? Algo así como Sea $(X, T)$ sea el espacio topológico y $S$ sea una subbase. Entonces: $\forall U \in T: U = \cup_{A = M_i \cap M_j \cap ... with M_{i,j} \in S}$ donde todos $A$ debe ser finito. ¿Cómo se hace el conjunto vacío de esta manera?
@moose Puedes hacer el conjunto vacío con la unión vacía de la intersección vacía. En otras palabras la unión de la intersección de ningún conjunto. Algo así como el espacio vectorial $\{0\}$ es generado por la base $\varnothing$ desde $0$ es una suma vacía.
@Pratyush ¿Qué quiere decir con "la unión vacía de la intersección vacía"? ¿Podría aclararlo, por favor?
La colección de conjuntos $(-\infty,b)$ y $(a,\infty)$ para $a,b\in \mathbb{R}$ constituyen una sub-base para la topología estándar en $\mathbb{R}$ . La colección de conjuntos $(a,b)$ para $a,b\in \mathbb{R}$ constituyen la base de la topología estándar en $\mathbb{R}$ . Le sugiero que consulte las definiciones de "base" y "subbase" y se convenza de que las afirmaciones que he hecho son correctas; probablemente sea la mejor manera de responder a su pregunta.
La idea básica es que una base es la colección de todas las intersecciones finitas de los elementos de la sub-base. Los conjuntos abiertos de una topología son todas las posibles uniones de elementos de base. Por lo tanto, los conjuntos abiertos en una topología son todas las posibles uniones de intersecciones finitas de elementos de sub-base.
Espero que esto responda a su pregunta.
Si ignoramos, momentáneamente, el hecho de que estamos tratando de generar una topología, un subbase es cualquier colección de subconjuntos del espacio. Así, cualquier base es una subbase. Sin embargo, una base $\mathcal B$ debe cumplir el criterio de que si $U,V\in\mathcal B$ y $x$ es un punto arbitrario en ambos $U$ y $V$ entonces hay algo de $W$ perteneciente a $\mathcal B$ tal que $x\in W\subseteq U\cap V$ .
Para entender realmente lo que significa hay que ver ejemplos. La familia $\{X\}$ es una base para la topología indiscreta en $X$ . La familia $\mathcal P(X)$ el conjunto de poderes de $X$ es una base para la topología discreta en $X$ . Si $X$ es lo suficientemente grande y se elimina algún subconjunto $S\subset X$ de $\mathcal P(X)$ , todavía puede tener una base si $S$ no es singleton sino $\mathcal P(X)\setminus \{x\}$ es simplemente una subbase cuando $x\in X$ .
Un ejemplo más ambicioso es la definición de la topología sobre el producto de dos espacios $X$ y $Y$ . La familia $$\{U\times Y:U\subseteq X, U\text{ is open}\}\cup\{X\times V:V\subseteq Y,V\text{ is open}\}$$ es una subbase pero no necesariamente una base de la topología de caja en $X\times Y$ .
Por último, supongamos que una familia $\mathcal B$ es una base. Se puede generar una topología $\tau_0$ utilizando $\mathcal B$ como subbase y se puede generar una topología $\tau_1$ utilizando $\mathcal B$ como base. Las topologías son en realidad las mismas, como se puede ver aquí . Sólo hay que hacer más trabajo para generar una topología a partir de una subbase $\mathcal S$ es decir, hay que incluir todas las intersecciones finitas de los miembros de $\mathcal S$ porque no se garantiza que sean uniones de miembros de $\mathcal S$ .
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