Desplazamiento del índice en la serie de Taylor de $\sin(x)$

Question

He visto el siguiente cambio de índice que implica la serie de Taylor para $\sin(x)$ . $$\sin(x)=\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}=\sum^\infty_{n=0}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ Esta segunda suma me parece correcta, pero el desplazamiento del índice me parece raro. Si desplazara el índice uno hacia abajo - de $n=1$ a $n=0$ entonces no debería cambiar todo $n$ ¿en la ecuación uno arriba? Esto me daría: $\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2x}}{2n!}$ . ¿Es errónea mi forma de pensar sobre los cambios de índice?

Answer 1

Debe tener en cuenta que $2(n+1)-1=2n+1$ .