subaditivo implica cóncavo

Question

Sea $f:R_+\to R_+$ ser suave en $(0,\infty)$ aumentando, $f(0)=0$ y $\lim_{x\to\infty}=\infty$ . Supongamos también que $f$ es subaditivo: $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ para todos $x,y\ge 0$ . Debe $f$ ser cóncavo? Lo contrario es obvio.

Answer 1

Que tal esta... $f'(x) = ((x-5)/(x+1))^2$ . Así que (según Maple) $$ f(x) = -\frac{-37x - x^{2} + 12 \ln (x + 1) + 12 \ln (x + 1) x}{x + 1} $$ Ahora $f$ no es cóncava, ya que $f'$ aumenta por encima de $5$ .

EDITAR Siguiente intento ... $$ g(x) = \frac{x \bigl(53140 x^{3} + 212550 x^{2} + 314500 x + 240625 + x^{4}\bigr)}{(x + 1)^{4}} $$ para que $$ g'(x) = \frac{(x + 25) \bigl(x^{2} - 10 x + 385\bigr) (x - 5)^{2}}{(x + 1)^{5}} $$ y $$ g''(x) = \frac{-25920(x - 5) (x - 10)}{(x + 1)^{6}} $$