subaditivo implica cóncavo

Question

Sea $f:R_+\to R_+$ ser suave en $(0,\infty)$ aumentando, $f(0)=0$ y $\lim_{x\to\infty}=\infty$ . Supongamos también que $f$ es subaditivo: $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ para todos $x,y\ge 0$ . Debe $f$ ser cóncavo? Lo contrario es obvio.

Answer 1

Para no liso seguramente no, tomar $f(x)=2x+|\sin x|$ . Estoy casi seguro de que para liso la respuesta es la misma. Por ejemplo, parece que la función $|\sin x|$ puede modificarse cerca de los puntos $\pi k$ de modo que se suavice pero siga siendo semiaditivo.

Pues bien, la construcción más concreta es la siguiente (aunque se omiten algunos detalles)

construir una función $f$ tal que $f(x)=|\sin x|$ a menos que $|x-k\pi|<1/100$ para algún número entero positivo $k$ , $\sin 1/100\geq f(x) > \sin 1/100-1/1000000$ para $|x-k\pi| < 1/100$ , $f$ es convexa en $[k\pi-1.100,k\pi+1/100]$ . ¿Cuándo puede $f(x+y) \le f(x)+f(y)$ ¿Fracasar? Si $f(x+y)=|\sin(x+y)|$ entonces $f(x+y)\le |\sin x|+|\sin y|\le f(x)+f(y)$ . Si $f(x+y)\ne |\sin (x+y)|$ entonces $f(x+y)\le \sin(1/100)$ por lo que si $f(x)+f(y) < f(x+y)$ entonces también $f(x) < \sin(1/100)$ y $f(y) < \sin(1/100)$ . Si ambos $x$ y $y$ son mayores que $1/100$ entonces $f(x)+f(y) > 2(\sin(1/100)-1/1000000) > 1/100 > f(x+y)$ .

Ahora bien, sin pérdida de generalidad $k\pi < y< x+y< k\pi+1/100$ . Entonces $f(x+y)-f(y)=xf'(\theta)$ para algunos $\theta\in [y,x+y]$ por convexidad $f'(\theta)\le \cos 1/100$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $x\cos(1/100)\le \sin x$ es decir $\sin x/x\geq \cos 1/100$ . Desde $\sin t/t$ disminuye en $[0,1/100]$ tenemos $\sin x/x\geq 100\sin 1/100\geq \cos 1/100$ como $\tan t > t$ para $t=1/100$

Answer 2

Que la respuesta es "no" también es evidente (al menos para los $C^0$ caso) si te refieres a la interpretación gráfica de la concavidad y subaditividad de la función $f$ en términos del subgrafo de $f$ S(f). "Concavidad" es, por supuesto: S(f) es convexa; "subaditividad" es: una traslación de S(f) que lleve el origen a cualquier punto del grafo(f), cubre enteramente el grafo(f) a partir de ese punto. Cualquier función creciente con una gráfica adecuada en forma de zig-zag goza de esta propiedad, mientras que no es cóncava.

Answer 3

Permítanme intentarlo de nuevo (he borrado un mensaje erróneo anterior). En primer lugar, una condición suficiente para la subaditividad en $x>0$ es: $f(x)/x$ no creciente. Esto es más fácil de trabajar ya que es una condición local. La prueba es elemental (tomemos $x\ge y>0$ entonces $f(x+y)\le f(x)(x+y)/x=f(x)+yf(x)/x\le f(x)+f(y)$ ). Para un $f$ equivale a $f'\le f/x$ .

Así pues, basta con buscar una función no cóncava $f(x)$ que es suave en $(0,\infty)$ tiene límite derecho cero en cero, y satisface en $x>0$ las desigualdades $$ 0\le f'(x) \le \frac f x.$$

Ahora, toma $f=x^a$ con $ 0 < a < 1 $ ; podemos empezar con cualquier ejemplo, pero sólo para fijar las ideas. Se trata de una función cóncava que satisface todos los requisitos del problema. Nótese que en realidad existe $d>0$ tal que $$ d\le f'(x) \le f'(x)+d \le \frac f x \text{ on } (0,1].$$ Cualquier función que cumpla esta condición es un buen punto de partida. Modificaremos $f$ en un subconjunto compacto de $(0,1)$ para que no sea cóncava cerca de un punto. Tomemos un corte suave no negativo $g \in C^2_c(0,1)$ tal que $|g'|\le 1$ y definir $f_t=f+tg$ para $t$ una pequeña constante positiva. Tenemos $f'_t=f'+tg'$ por lo que si restringimos $t$ a $ 0 < t < d $ tenemos $$ 0 \le f_t'\le \frac {f_t} x $$ en todas partes. Está claro que $f_t$ para todos $ 0 < t < d $ satisface todos los requisitos del problema. ¿Podemos elegir $g$ para hacer $f_t''(1/2)>0$ ? Tenemos $$ f''_t(x_0)=f''(x_0)+t g''(x_0) $$ por lo que en conclusión estamos buscando una función suave soportada en un subconjunto compacto de $(0,1)$ no negativo, tal que $$ |g'|\le1 \text{ and } g''(1/2)\ge N $$ para un $N$ arbitrariamente grande. Es obvio que existe, por ejemplo, tomar una función lineal a trozos y aproximarla con funciones de prueba.

Answer 4

Subadditividad + $f(0)=0$ no implican concavidad, ni para las funciones regulares. Los contraejemplos se encuentran en Bruckner "Some relationships between locally superadditive functions and convex functions", Proc. Amer. Math. Soc., 15, 1964, 61-65, y en Bruckner-Ostrow "Some function classes related to the class of convex functions", Pacific J. Math. 12, 1962, 1203--1215.

Answer 5

Aquí tienes un esquema de cómo podrías hacerlo.

Empezar con una función cóncava f (AÑADIDO: también, f cumple todas las condiciones establecidas en la pregunta). Consideremos ahora el intervalo $(1,1.1)$ . Intentaremos modificar f aumentando su valor en este intervalo y conservando los valores en los extremos. Dejemos de lado la suavidad por ahora.

¿Qué propiedades debe tener el f ¿Tener? La subaditividad sólo se ve amenazada en los casos en los que el $x + y$ aterriza dentro de $(1,1.1)$ . Debido a la concavidad hasta 1 vemos que basta con garantizar que la nueva variante $f_1$ de f satisfacer:

$$f_1(1 + \epsilon) \le f(1) + f(\epsilon)$$

Básicamente, podemos trasladar la condición de subaditividad a la frontera debido a la conocida propiedad de concavidad de f .

Así, $f_1$ puede elegirse arbitrariamente siempre que se tomen los valores de contorno correctos y que esté acotado desde arriba por la expresión indicada. Suponiendo una concavidad estricta, existe cierto espacio libre entre la función de corriente real $f$ y el límite superior para $f_1$ dada por la ecuación Por tanto, podemos elegir a $f_1$ que funciona. Mantener la condición de ser creciente no es problemático -- incluso si lo fuera, podríamos simplemente añadir una función lineal de coeficiente enorme a $f_1$ y hacer que aumente. La suavidad es la parte relativamente más difícil, pero podría arreglarse utilizando funciones de relieve.

EDIT: Hay otra restricción, que de nuevo es alcanzable: subaditividad cuando ambos $x$ y $x + y$ están en el intervalo $(1,1.1)$ .

También creo que funciones como $2x + \sqrt{x}e^{-(x-1)^2}$ o sus variantes pueden funcionar directamente, pero no conozco ninguna prueba analítica fácil de ello.