La inyectividad de torus en la categoría de grupos abelianos de Lie

Question

HI: Tengo la siguiente pregunta:

Definición: Un grupo de Lie $T$ se llama toro si $T\cong \prod_{1\leq i\leq k} \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ para algunos $k\in \mathbb{N}$ .

${\bf Question}$ : ¿Es cierto que un toro es un objeto inyectivo en la categoría de grupos abelianos de Lie? Muchas gracias.

Answer 1

No; incluso en la categoría de conectado grupos abelianos de Lie, los tori no son objetos inyectivos. Para facilitar la notación, denotamos por $\mathbb{T}$ el toroide $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ . He aquí un contraejemplo:

Fijar números irracionales racionalmente independientes $\xi, \eta$ . Sea $f : \mathbb{R} \to \mathbb{T}^2$ viene dada por $$ f : x \mapsto (x\xi, x\eta). $$ Obviamente $f$ es un mapa inyectivo de grupos de Lie $\mathbb{R} \to \mathbb{T}^2$ . Sea $\pi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ sea el mapa cociente. Entonces afirmamos que no existe ningún mapa de grupos de Lie $h : \mathbb{T}^2 \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ con $hf = \pi$ Esto demuestra que $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ no es un objeto inyectivo. (También se deducirá de esta prueba que ningún toroide de dimensión superior tampoco lo es).

Es bien sabido ( Teorema de Kronecker ) que cada órbita del mapa $(x, y) \mapsto (x + \xi, y + \eta)$ es denso en $\mathbb{T}^2$ . En particular, existe una secuencia $n_k \in \mathbb{Z}$ tal que $$ n_k(\xi, \eta) \to \frac{1}{2}(\xi, \eta), $$ de lo que se deduce que $$ \frac{2n_k + 1}{2}(\xi, \eta) \to 0. $$ Pero entonces si $h$ es cualquier mapa continuo $\mathbb{T}^2 \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ tomando $0$ a $0$ , $$ (h\circ f)\Big(\frac{2n_k + 1}{2}\Big) = h\Big(\frac{2n_k + 1}{2}(\xi, \eta) \Big) \to 0, $$ mientras que $$ \pi \Big(\frac{2n_k + 1}{2}\Big) = \frac{1}{2}, $$ por lo que no podemos tener $hf = \pi$ .