La pregunta puede ir encaminada a ampliar el propio ámbito más allá de lo que se considera en los libros de texto introductorios. Esta es la esencia de la investigación científica.
La capacidad calorífica $C_X$ a una condición de $X$ es $C_X\equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_X$ con temperatura $T$ y entropía $S$ . Podemos interpretarlo como el calentamiento necesario para obtener un determinado cambio de temperatura (a constante $X$ ).
Los tratamientos introductorios suelen suponer que un gas está encerrado en un recipiente impermeable (constante $N$ ); por tanto, tenemos las capacidades caloríficas estándar asociadas de volumen constante y presión constante
$$C_{V,N}\equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V,N}\,\,\mathrm{and}$$
$$C_{P,N}\equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P,N},$$
que para el gas ideal son convenientemente iguales a $\frac{dU}{dT}$ y $\frac{dH}{dT}$ respectivamente, con la energía interna $U$ y entalpía $H$ potenciales. (Nótese que no se requieren subíndices en este caso especial porque son irrelevantes; para el gas ideal, los coeficientes de $dV$ y $dP$ en el correspondiente relaciones fundamentales son cero).
Bien, basta de repasar el material introductorio. Consideremos ahora un gas en equilibrio con un material adyacente. (Los límites del sistema siguen incluyendo sólo el gas.) Las capacidades caloríficas correspondientes son ahora relevantes:
$$C_{V,\mu}\equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V,\mu}\,\,\mathrm{and}$$
$$C_{P,\mu}\equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P,\mu},$$
con potencial químico constante $\mu$ (Obsérvese que t es el número de moléculas de gas), ya que el número de moléculas de gas ya no es constante; el gas puede difundirse en el otro material y/o reaccionar con él. (Obsérvese que este análisis requiere cuidado porque la entropía del sistema se ve ahora afectada no sólo por el calentamiento, sino también por la transferencia de masa, ya que la masa conlleva su propia entropía. Se obtiene una capacidad calorífica infinita para algunos modelos de condensación simples, por ejemplo, porque ninguna cantidad de enfriamiento puede bajar la temperatura del gas mientras se está condensando -sólo acelera la velocidad de condensación a la temperatura de ebullición).
Aún más amplio, consideremos un gas magnético; es decir, un gas para el que es relevante otro tipo de trabajo distinto del trabajo presión-volumen: el trabajo campo magnético-magnetización, o $B$ - $M$ trabajo.
Podemos definir nuevos potenciales
$$\Phi\equiv U+MB=TS-PV+\mu N+MB;$$ $$\Psi\equiv\Phi-MB,$$
donde distinguimos $\Psi$ de $U$ por la posibilidad de $M$ - $B$ funcionan cuando se utiliza el primero. Ahora podríamos calentar un gas a campo magnético constante $B$ o magnetización constante $M$ correspondientes, respectivamente, a las capacidades caloríficas
$$C_{Y,B}\equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{Y,B}\,\,\mathrm{and}$$
$$C_{Y,M}\equiv T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{Y,B},$$
donde $Y$ se refiere a alguna combinación de variables de las que ya hemos hablado ( $V$ , $P$ , $N$ , $\mu$ ) se mantienen constantes. Nótese que aún puede ser conveniente trabajar en términos de un potencial: $C_{M}=\frac{\partial \Phi}{\partial T}$ y $C_{B}=\frac{\partial \Psi}{\partial T}$ donde las variables naturales se mantienen constantes. Esto es análogo a $C_V=\frac{\partial U}{\partial T}$ y $C_P=\frac{\partial H}{\partial T}$ . (En otras palabras, $\Phi$ y $\Psi$ son propiedades físicas del gas tan válidas como las más conocidas $U$ y $H$ !) Reconociendo tales analogías y cómo pueden extenderse a un grado arbitrario es como se fortalecen los músculos termodinámicos de uno.
Así se obtienen ocho capacidades caloríficas posibles, con la posibilidad de ampliar el marco con otros tipos de trabajo. Y ni siquiera hemos entrado en las formas en que las funciones de las variables termodinámicas podrían mantenerse constantes, en lugar de sólo las propias variables. Es posible un número infinito de variaciones, por lo que la respuesta a la pregunta original es (3).
