Explícito buen orden de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$

Question

Hay una explícita buen orden de $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}:=\{g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\}$?

He estado pensando acerca de eso por un tiempo, pero nada viene a mi mente. Mi mejor idea es esta:

Denotar por $<$ de la habitual "menos que" la relación en $\mathbb{N}$. Desde $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ es el conjunto de infinito las secuencias de ${\{x_{n}\}}_{n\in \mathbb{N}}$$x_{n}\in \mathbb{N}$, podemos definir ${\{x_{n}\}}_{n\in \mathbb{N}}\leq ^{\prime }{\{y_{n}\}}_{n\in \mathbb{N}}$ as follows. If $x_{0}<y_{0}$, then ${\{x_{n}\}}_{n\in \mathbb{N}}\leq ^{\prime }{\{y_{n}\}}_{n\in \mathbb{N}}$. If $x_{k-1}=y_{k-1}$, para$k\in \mathbb{N}\setminus \{0\}$, ${\{x_{n}\}}_{n\in \mathbb{N}}\leq ^{\prime }{\{y_{n}\}}_{n\in \mathbb{N}}$ if and only if $x_{k}<y_{k}$.

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Creo que bajo esta relación no todo subconjunto de a $\mathbb{N}^{\mathbb{N}}$ tiene al menos un elemento.

Alguna idea?

Answer 1

Si usted tuvo un buen orden de $\mathbb N^{\mathbb N}$ no sería demasiado duro para construir un buen orden de $\mathbb R$ a partir de eso. Sin embargo, se cree que no hay ninguna explícita buen orden de $\mathbb R$, así que me temo que no habrá uno para $\mathbb N^{\mathbb N}$. JDH es el experto en esto!

Answer 2

Desde $\mathbb N^\mathbb N$ tiene la cardinalidad de a $\mathbb R$ (de hecho, en algunos de los marcos teóricos esta es la definición de $\mathbb R$), un pedido de $\mathbb N^\mathbb N$ es el mismo así ordenar los números reales (a través de la transferencia de la estructura).

Ahora viene el punto donde el "explicit" se convierte en ambiguo. Si desea tener un orden de $\mathbb R$, el cual es definido en ZF sin el axioma de elección, entonces esto es claramente imposible por varias razones posibles:

1. Existe un subconjunto de los números reales que no pueden ser bien ordenado (Cohen primer modelo); si bien podemos-orden de los números reales, entonces podemos bien la orden de que cada subconjunto de los números reales. Si hemos construido un modelo en el que hay un subconjunto de los números reales que no pueden ser bien ordenado, a continuación, los números reales no puede ser bien ordenado.

2. No hay incontables subconjunto de los números reales, que puede ser bien ordenado; por ejemplo, en el Solovay modelo donde todos los conjuntos de números reales son Lebesgue medible o en el Feferman-Levy modelo en donde la continuidad es una contables de la unión de conjuntos contables(!).

   En tanto que los modelos no existen subconjuntos de los números reales que tienen cardinalidad $\aleph_1$. Que es sólo contables de los subconjuntos de los números reales puede ser bien ordenado.

3. No tratamos a los números reales directamente en una construcción, pero el modelo resultante puede ser demostrado tener propiedades incompatibles con el buen orden de los números reales (cada conjunto medible; no Hamel base para $\mathbb R$$\mathbb Q$; etc.) así que no lo haya intentado destruir a cualquier buen orden de los números reales, pero ha sucedido de todos modos.

En el otro extremo, si se asume que algo como $V=L$ (así, en particular, de obtener el axioma de elección, de forma gratuita!) entonces no es un buen orden de los números reales que tiene una relativamente baja complejidad, $\Delta^1_2$ JDH, comentó. Esto no es demasiado lejos de ser un conjunto de Borel, y los conjuntos de Borel son relativamente edificable en un buen sentido de que tenemos esta receta para crear.

Tenga en cuenta que para un buen orden para ser $\Delta^1_2$ significa que hay una cierta fórmula $\varphi(x,y)$ y la relación $\{\langle x,y\rangle\mid \varphi(x,y)\}$ es un buen orden de $\mathbb R$. La fórmula siempre va a definir una relación, y como Andrés comentó que esta relación no siempre ser un buen orden de los números reales. Esto dependerá de su universo.

Answer 3

Esto responde a la segunda cosa que usted dijo: ¿Por $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ no está bien ordenado por la relación que usted menciona (soy consciente de que esto no responde a tu pregunta):

Tome el conjunto $$S=\{ \overline {x}: \text{There exists } n\in\mathbb{N} \text{ with } x_n\neq 0, \text{and } x_i=0\ \text{ for } 0\leq i< n\}$$

Para que tenga por lo menos un elemento que tendría que contener $\overline{0}$, lo cual no es cierto.

Espero que ayude,

Edit: he eliminado mi extraña explicación de por qué se llega a esta conclusión

Answer 4

¿Cuál es el menor elemento de a $\mathbb{N}^{\mathbb{N}} \setminus (0,0,0,\dots)$? No creo que uno se define.