En $\sum_{k=0}^{\infty} a_k s_k(t)$ donde $s_k$ es el $k$ -ésima función de Schauder, convergen incondicionalmente?

Question

La familia $\left\{h_k(\cdot)\right\}_{k=0}^{\infty}$ de funciones Haar se definen para $0 \leq t \leq 1$ como sigue: $$\begin{gathered} h_0(t):=1 \quad \text { for } 0 \leq t \leq 1 \\ h_1(t):=\left\{\begin{array}{lr} 1 & \text { for } 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ -1 & \text { for } \frac{1}{2}<t \leq 1 \end{array}\right. \end{gathered}$$ Si $2^n \leq k<2^{n+1}, n=1,2, \ldots$ fijamos $$h_k(t):=\left\{\begin{array}{l} 2^{n / 2} \text { for } \frac{k-2^n}{2^n} \leq t \leq \frac{k-2^n+1 / 2}{2^n} \\ -2^{n / 2} \text { for } \frac{k-2^n+1 / 2}{2^n}<t \leq \frac{k-2^n+1}{2^n} \\ 0 \text { otherwise. } \end{array}\right.$$ Para $k=0,1,2, \ldots$ , $$s_k(t):=\int_0^t h_k(s) d s \quad(0 \leq t \leq 1)$$ es el $k$ -función de Schauder.

Sea $\left\{a_k\right\}_{k=0}^{\infty}$ sea una sucesión de números reales tal que $$\left|a_k\right|=O\left(k^\delta\right) \quad \text { as } k \rightarrow \infty$$ para algunos $0 \leq \delta<1 / 2$ . A continuación, la serie $$\sum_{k=0}^{\infty} a_k s_k(t)$$ converge uniformemente para $0 \leq t \leq 1$ .

Prueba . Fijar $\varepsilon>0$ . Obsérvese que para $2^n \leq k<2^{n+1}$ las funciones $s_k(\cdot)$ tienen soportes disjuntos. Conjunto $$b_n:=\max _{2^n \leq k<2^{n+1}}\left|a_k\right| \leq C\left(2^{n+1}\right)^\delta$$ Entonces para $0 \leq t \leq 1$ , $$\begin{aligned} & \leq C \sum_{n=m}^{\infty}\left(2^{n+1}\right)^\delta 2^{-n / 2-1}<\varepsilon \\ & \end{aligned}$$ para $m$ suficientemente grande, ya que $0 \leq \delta<1 / 2$ . Con esto concluye la prueba.

Me gustaría saber si la serie $$\sum_{k=0}^{\infty} a_k s_k(t)$$ es incondicionalmente convergente. Recuerde que si $\left\{f_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ es una secuencia y $\sum_{k=1}^{\infty} f_{\sigma(k)}$ es convergente para todas las permutaciones $\sigma$ decimos que $\sum_{k=1}^{\infty} f_k$ es incondicionalmente convergente. En ese caso, el límite es el mismo independientemente del orden de la suma.

Answer 1

Desde $\left|a_k\right|=O\left(k^\delta\right)$ existe una constante $D>0$ tal que $$\left|a_k\right|< Dk^\delta\quad\text{for all } k\ge1.$$

Para $n\ge1$ , dejemos que $$u_n(t)=\sum_{2^n \le k<2^{n+1}}|a_ks_k(t)|\quad\text{for }t\in [0,1].$$ Puesto que para $2^n\le k<2^{n+1}$ las funciones $s_k(\cdot)$ tienen soportes disjuntos,

$$u_n(t)<D\left(2^{n+1}\right)^\delta2^{-n/2-1}$$

Así que $$\begin{aligned} &\quad\sum_{k=0}^{\infty} |a_k s_k(t)|\\ &\le |a_0| +|a_1|/2 + \sum_{n=1}^{\infty}u_n(t)\\ &<|a_0| +|a_1|/2 + \sum_{n=1}^{\infty} D\left(2^{n+1}\right)^\delta2^{-n/2-1}\\ &=|a_0| +|a_1|/2+ \frac{D2^{2\delta-3/2}}{1-2^{-1/2+\delta}}. \end{aligned}$$

La última expresión es finita. Por lo tanto $\sum_{k=0}^{\infty} a_k s_k(t)$ converge incondicionalmente.