Reescribir una fórmula explícita como fórmula recursiva

Question

Tengo las siguientes series: $x_n = \frac{n}{n+1}$ y estoy tratando de reescribirlo como una fórmula recursiva. Escribí los primeros 5 elementos: $1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6$ sin embargo no consigo encontrar la fórmula recursiva.

¿Podría ayudarme?

Gracias

Answer 1

Hay al menos un par de cosas que puedes hacer. Puedes restar $x_n$ de $x_{n+1}$ por ejemplo.

$$ \begin{align}x_{n+1}-x_n &= \frac{n+1}{n+2}-\frac n{n+1}=\frac1{(n+1)(n+2)}\\ x_{n+1}&=x_n+\frac1{(n+1)(n+2)} \end{align} $$ Puedes obtener una fórmula recursiva diferente si divides $x_{n+1}$ por $x_n$ . Pruébalo.

Answer 2

Sugerencia

Para $n\in \Bbb N$ : $$x_n={n\over n+1}\iff n={1\over 1-x_n}-1$$

Answer 3

Si busca una fórmula recursiva que no incluya $n$ en su ecuación, he aquí una

Ec-1. $$x_{n} = \frac{n}{n+1} \to n = \frac{x_n}{1-x_n}$$ Ec-2. $$x_{n+1} = \frac{n+2-1}{n+2} \to x_{n+1} = 1 - \frac{1}{n+2} $$

A continuación, puede sustituir $n$ en Ec-2, por $n$ en Ec-1

$$x_{n+1} = 1 - \frac{1}{\frac{x_n}{1-x_n}+2}$$ y $x_0 = 0.5$

¡Y dejo la simplificación para quien esté interesado!

Edita: $$x_{n+1} = \frac{1}{2-x_n}$$