Considere $T$ = $9 \times 99 \times 999 \times 9999 \times \cdots \times \underbrace{999....9}_{2015 \:nines}$

Question

Considere $T$ = $9 \times 99 \times 999 \times 9999 \times \cdots \times \underbrace{999....9}_{2015 \:nines}$

Encuentre los 3 últimos dígitos de $T$

Aconsejar : Lo escribí mal la primera vez, debería ser un producto de "2015" números, me disculpo por eso, me di cuenta de mi error cuando estaba de viaje y no pude reparar en mi teléfono móvil.

Mi intento

Conozco el último dígito, lo encontré fácilmente, pero la lucha es con los otros. He intentado esto:

$9 \times 99 \times 999 \times \cdots \times \underbrace{999 \ldots 9}_{2015 \:nines}$ $= 9 \times 9(11) \times 9(111) \times \cdots \times 9(\underbrace{111 \ldots 1}_{2015 \:ones})$

Así que $T$ = $9(1+11+111+ \cdots +\underbrace{111 \ldots 1}_{2015 \:ones})$

Pero desde aquí no he encontrado nada, ¿alguna pista?

Answer 1

Pista:

$$T\equiv9\cdot99\cdot999^{2015-2}\pmod{1000}$$

Ahora $999\equiv-1\pmod{1000}\implies999^{2013}\equiv(-1)^{2013}\equiv-1$

$$\implies T\equiv(10-1)(100-1)(-1)\equiv-1+10+100$$

Answer 2

La pregunta se cambió de un producto de cuatro a un producto de 2015 factores.

Puede que el autor de la pregunta vuelva a cambiar el número de factores, así que vamos a resolverlo para cualquier número de factores $n \geq 3$ :

$$\prod_{k=1}^n\sum_{i=0}^{k-1}9 \times 10^i \equiv 9 \times 99 \times \prod_{k=3}^n999 \equiv 9\times 99 \times (-1)^{n-2} \equiv \left\{ \begin{array}{ll} 109 \mbox{ mod } 1000 & n= 2k+1 \\ 891 \mbox{ mod } 1000 & n = 2k \end{array} \right.$$

Así, para $n = 2015$ obtenemos $109$ .

Dejo los casos $n=1$ y $n=2$ para el lector inclinado :-).

Answer 3

$T=891\times (1000a_3-1)(1000a_4-1)(1000a_5-1)\cdots(1000a_{2015}-1)$ para algunos números enteros $a_3,a_4,a_5,\dots,a_{2015}$ .

Así que.., $T=891\times (1000a-1)$ para algún número entero $a$ .

Las tres últimas cifras son $109$ .

Answer 4

Bueno, siguiendo desde donde terminaste:

$T = 9(1 \times 11 \times 111 \times ...)$

Observa que, excepto el primer y el segundo término, los otros 2013 términos son congruentes con 111 (mod 1000).

Así que $T \equiv 9(1 \times 11\times 111^{2013}) \pmod {1000}$

Utilizaremos la propiedad de que $\varphi (n^m) = n^{m-1} \varphi (n)$

Así que $\varphi (10^3) = 10^2 \varphi (10) = 100 \times 4 = 400 $

Desde $2013 = 400 \times 5 + 13$ ,

$9(1 \times 11\times 111^{2013} \equiv 9(11 \times 111^{13}) \equiv 9(11 \times 111^{10} \times 111^3) \equiv 9(11 \times (111^2 )^5 \times 1367631) \equiv 9(11 \times 12321^5 \times 631) \equiv 9(11 \times 321^5 \times 631) \equiv 9(11 \times 3408200705601 \times 631) \equiv 9(11 \times 601 \times 631) \equiv 9(4171541) \equiv 9(541) \equiv 4869 \equiv 869 \pmod {1000}$