[Me ha costado decidir cómo etiquetar esta pregunta, así que edita si hay una clasificación mejor].
Algunos tipos especiales de ecuaciones indeterminadas son resolubles. por ejemplo, considere este ejemplo del libro de texto:
Resuelve:
$(x+y)(x+z)=30$
$(y+z)(y+x)=15$
$(z+x)(z+y)=18$
Ponga $y+z = u, z+x = v, x+y = w$ . Así,
$vw = 30, wu = 15, uv = 18$
Si los multiplicamos, obtenemos $u^2v^2w^2 = 90^2$ etc., de donde se obtienen los siguientes conjuntos de soluciones: $\{4,1,2\},\{-4,-1,-2\}$ .
Ese era el método de manual. Pero cuando yo había intentado el problema, me había fijado en el factor común de dos ecuaciones cualesquiera y había procedido así:
Si dividimos la primera ecuación por la segunda, la segunda por la tercera y la primera por la tercera, obtenemos las tres ecuaciones siguientes:
$x-2y-z = 0$
$x + 6y - 5z = 0$
$3x-2y-5z = 0$
Desgraciadamente, todo lo que estas ecuaciones arrojan es la simple relación de que $x:y:z = 4:1:2$ . Incluso si asumo $x=4k, y=k, z=2k$ etc., si lo introducimos en cualquiera de las ecuaciones obtenemos $k =0$ . Parece que las ecuaciones son indeterminadas en el verdadero sentido de la palabra.
Mi pregunta es: ¿Cómo es posible que algunos malabarismos den lugar a pequeñas soluciones integrales, mientras que los esfuerzos directos nos dejan dando vueltas en círculo? Quizá mi pregunta sea más bien filosófica, pero me gustaría que se arrojara algo de luz sobre este asunto.
