Esta pregunta se inspira en otra pregunta Pregunté en este sitio. Para esa pregunta, yo había pensado que si las diferencias en las evaluaciones posteriores de una función, $f(n)$ definido con un dominio de sólo los números naturales (incluyendo $0$ ) convergen en $0$ como $n$ se acercó a infinito, entonces esto demostraría que $f(n)$ convergería a algún valor. Me equivoqué en esta suposición. Otra idea que tenía es que si la relación entre una evaluación y la anterior convergía a $1$ Esto implicaría también la existencia de un límite. Esto parece más probable debido a la prueba de razón, pero que sólo se aplica a los términos de una suma infinita y sólo implica convergencia cuando $|a_n / a_{n-1}| < 1$ . ¿Es cierta mi suposición? ¿Puede demostrarse de algún modo mediante la prueba de la proporción? Si no es así, ¿qué es un contraejemplo?
Respuestas
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En cuanto escribí esta pregunta, creo que encontré un contraejemplo para ella. Considere la función como sumas parciales de la serie armónica. $$f(n) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$ Si consideramos el límite de la relación, obtenemos $$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{f(n)}{f(n-1)}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}}{\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}}{\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}}$$ Separando esto en dos fracciones obtenemos $$\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}}\right)$$ Como la serie armónica diverge, el denominador de la segunda fracción se aproxima a infinito. Aunque no supiéramos que la serie diverge, sabemos que es mayor que cero. Eso multiplicado por $n$ como $n$ se aproxima a infinito mostraría que el denominador tiende a infinito de todos modos. Esto nos lleva a que el límite es igual a $1$ . Porque ya sabíamos que $\lim\limits_{n\to\infty} f(n)$ no existe, esto lleva a una contradicción y refuta la afirmación original.
