Aclaración sobre el lugar cero y el ideal generado

Question

Sea $\mathbb{A}_{2}$ denotan el espacio de 2 oficinas sobre $\mathbb{C}$ . Ahora dejemos que $Y=V(y-x^{2})$ Aquí $V$ denota el locus cero. Ahora, por definición, el anillo de coordenadas es el anillo cociente $k[x,y]/I(Y)$ donde $I(Y)$ es el ideal generado por todos los polinomios que desaparecen en $Y$ .

Ahora el autor calcula $k[x,y]/I(Y)$ calcula $k[x,y]/<y-x^{2}>$ Así que mi pregunta es: ¿por qué $I(V(y-x^{2}))=<y-x^{2}>$ ?

Answer 1

No necesitas el Nullstellensatz. Un polinomio $p(x, y) \in k[x, y]$ desaparece en el conjunto de todos los puntos $(t, t^2)$ sólo si $p(t, t^2)$ es el polinomio cero cuando $k$ es infinito, y se puede verificar directamente que esto es cierto si y sólo si $p(x, y)$ es divisible por $y - x^2$ sustituyendo todas las apariciones de $y$ con $x^2$ . En particular, no necesita $k$ algebraicamente cerrado.

Answer 2

Por el Nullstellensatz, $I(V(J))=\sqrt{J}$ para cualquier ideal $J$ . Porque $y-x^2$ es un polinomio irreducible en $k[x,y]$ tenemos que $J=(y-x^2)$ es un ideal primo y, por tanto, un ideal radical (es decir. $J=\sqrt{J}$ ). Así, $I(V(y-x^2))=(y-x^2)$ .