Pregunta: ¿Existen dos leyes débiles de los grandes números diferentes en la literatura estadística?
He encontrado muchas fuentes que afirman que la ley débil de los grandes números requiere la existencia de segundos momentos finitos, mientras que el resultado que conozco ni siquiera requiere la existencia de primeros momentos.
En particular, estoy debatiendo la devolución de un libro de texto de estadística matemática que compré, porque, si no hay dos resultados diferentes en la literatura bajo el nombre de "Ley débil de los grandes números", entonces los autores parecen haber cometido un grave error en cuanto al material introductorio. Esto disminuye sustancialmente mi confianza sobre la exactitud del resto del libro.
Antecedentes: En la p. 204 de Craig, Hogg, Introducción a la Estadística Matemática dice:
... En un curso más avanzado se demuestra la Ley Fuerte de los Grandes Números... Uno de los resultados de este teorema [la Ley Fuerte de los Grandes Números] es que podemos debilitar la hipótesis del Teorema 4.2.1. [la Ley Débil de los Grandes Números] a la suposición de que los números son grandes... [Ley débil de los grandes números] a la hipótesis de que las variables aleatorias $X_i$ son independientes y cada una tiene media finita $\mu$ . Así, la Ley Fuerte de los Grandes Números es un teorema de primer momento, mientras que la Ley Débil requiere la existencia de un segundo momento.
Además, la página Ley débil de los grandes números de Wolfram MathWorld también afirma que requiere la existencia del segundo momento, al igual que el libro de texto citado en esta pregunta en CrossValidated. Esta página web también utiliza una prueba que asume la varianza finita y la convergencia cuadrática media (que, por supuesto, implica la convergencia en probabilidad). Un resultado similar, con el nombre de $L^2$ ley débil se encuentra en la p.55, Teorema 2.2.3 de Durrett Probabilidad: Teoría y ejemplos . Estos resultados son más débiles que los de la ley fuerte, y se demuestran bajo menos condiciones generales.
Sin embargo, para la Ley Débil de los Grandes Números que se encuentra, por ejemplo. en Wikipedia o Durrett Probabilidad: Teoría y ejemplos , p. 60, Teorema 2.2.7., se requieren supuestos mucho más débiles que la existencia del segundo momento, de hecho, incluso estrictamente más débiles que la existencia del primer momento (véase también esta respuesta en CrossValidated):
Sea $X_1, X_2, \dots,$ ser i.i.d. con $$x \mathbb{P}(|X_i|>x) \to 0 \quad as \quad x \to \infty $$ Sea $S_n = X_1 + \dots + X_n$ y que $\mu_n = \mathbb{E}[X_1 1_{|X_1| \le n}]$ . Entonces $S_n/n - \mu_n \to 0$ en probabilidad.
Como se puede ver, la conclusión de este teorema es más débil que la Ley Fuerte de los Grandes Números, pero sus supuestos también son más general.
Esto es, por supuesto, lo que cabría esperar: los teoremas con conclusiones más débiles deberían poder demostrarse en condiciones más generales que los teoremas con conclusiones más fuertes; de lo contrario, el teorema con las conclusiones más débiles sería sólo un caso especial del teorema con las conclusiones más fuertes y no un resultado por derecho propio. (Véase también esta pregunta en CrossValidated).
