Anillos isomorfos cocientes de anillos polinómicos

Question

Deseo saber si $$\dfrac{\mathbb Z_2[x_1,x_2,x_3,x_4]}{\langle x_1x_3,x_2x_4,x_1+x_3,x_2+x_3+x_4\rangle}\cong\dfrac{\mathbb Z_2[a,b]}{\langle a^3,b^2,a^2-ab\rangle}.$$

Contexto - Estaba calculando el anillo de cohomología de la botella de Klein con $\mathbb Z_2$ utilizando el resultado de Davis y Januszkiewicz ( Teorema 4.14 página 23 ) y obtuvo el primer anillo (LHS). El segundo anillo (RHS) es lo que se conoce como el anillo de cohomología de la botella de Klein. Así que deben ser isomorfos. Pero soy incapaz de demostrar que son isomorfos.

Llegué tan lejos como para probar que el LHS es $\dfrac{\mathbb Z_2[x,y,z]}{\langle x^2,x+y+z,yz\rangle}$ pero no estoy seguro de cómo seguir a partir de ahí. Cualquier ayuda será apreciada.

Gracias, señor.

Answer 1

En realidad, considere el ideal $I:=(b^2, a^2-ab)\in \mathbb{Z}_2[a,b]$ . Entonces $$ a^3=(a+b)(a^2-ab)+ab^2\in I $$ Entonces el anillo RHS es de hecho $\mathbb{Z}_2/(b^2, a^2-ab)$ . El anillo LHS (versión simplificada) es $\mathbb{Z}_2[x,y,z]/(x^2, x+y+z, yz)\simeq \mathbb{Z}_2[x,y]/(x^2, y(x+y))$ . Además, como el anillo base es $\mathbb{Z}_2$ tienes $x^2-xy=x^2+xy$ y los dos lados son iguales.

Editar : Se puede tomar el homomorfismo $\phi: \mathbb{Z}_2[x,y,z]/(x^2, x+y+z, yz)\to \mathbb{Z}_2[x,y]/(x^2, y^2+yx)$ dada por $$ f(x,y,z)+(x^2, x+y+z, yz)\mapsto f(x,y,x+y)+(x^2, y^2+xy) $$ Se puede comprobar fácilmente que está bien definida y es suryectiva. Para la inyectividad, observe que $$ f(x,y, z)+ (x^2, x+y+z, yz)= f(x,y, x+y)+ (x^2, x+y+z, yz) $$ Ahora bien $f(x,y,x+y)\in (x^2, y^2+xy)$ entonces $$ f(x,y,x+y)=h_1(x,y)x^2+h_2(x,y)y(x+y)= h_1(x,y)x^2+h_2(x,y)y(x+y+z)+h_2(x,y)yz\in (x^2, x+y+z+yz) $$