Soy bastante novato en formas diferenciales/derivadas interiores así que si alguien me pudiera ayudar a entender la intuición que hay detrás de demostrar esta cierta propiedad paso a paso sería genial.
Sea $\iota_X$ denotan la derivada interior de formas diferenciales con un campo vectorial $X$ . Demuestre que el operador: $$L_X:= \iota_X \ \circ d \ + \ d \ \circ \ \iota_X$$
satisface $$L_X(\omega_1 \ \wedge \ \omega_2)=(L_X \omega_1) \ \wedge \omega_2 \ + \ \omega_1 \ \wedge \ (L_X \omega_2)$$
Hasta aquí he llegado con la expresión:
$$\iota_X \ \circ \ [(d\omega_1) \ \wedge \ \omega_2 \ + \ (-1)^k\omega_1 \ \wedge \ d(\omega_2)] \ + d \ \circ \ [(\iota_X\omega_1) \ \wedge \ \omega_2 \ + \ (-1)^k\omega_1 \ \wedge \iota_X(\omega_2)]$$
utilizando las siguientes propiedades:
$$\text{(1)} \ \ \ d(\omega_1 \wedge \omega_2)=d\omega_1 \wedge \omega_2 +(-1)^k(\omega_1 \wedge d\omega_2)$$
$$\text{(2)} \ \ \ \iota_X(\omega_1 \wedge \omega_2) = \iota_X(\omega_1) \wedge \omega_2 + (-1)^k\omega_1 \wedge \iota_X(\omega_2)$$
Edición: después de sustituir las propiedades de nuevo por segunda vez me quedo con:
$$\iota_x \ \circ \ d\omega_1 \ \wedge \ \omega_2 \ + \ (-1)^k d\omega_1 \ \wedge \ \iota_x(\omega_2) \ + \ (-1)^k \iota_x \omega_1 \ \wedge d\omega_2 \ + \ (-1)^{2k} \omega_1 \ \wedge \ (\iota_X \ \circ \ d\omega_2) \ + \ d \ \circ \ \iota_X \omega_1 \ \wedge \ \omega_2 \ + \ (-1)^k(\iota_X \omega_1 \ \wedge \ d\omega_2) \ + \ (-1)^k(d\omega_1) \ \wedge \ \iota_X \omega_2 \ + \ (-1)^{2k}\omega_1 \ \wedge \ (d \ \circ \ \iota_x\omega_2)$$
