Para tres variables $X,$ $Y,$ y $Z,$ demostrar que la suma de todas las correlaciones por pares es al menos $-3/2$

Question

Como puedo entender acerca de la pregunta, se requiere para probar,

$$\operatorname{Corr}( X, Y ) + \operatorname{Corr}( X, Z ) + \operatorname{Corr}( Y, Z ) \geq -3/2 \tag i$$

Pero para dos variables cualesquiera $X,Y$ ;

$$-1\leq \operatorname{Corr}( X, Y )\leq 1$$

Entonces, ¿cómo puedo obtener el resultado anterior (i)?

Answer 1

\begin{align} & \operatorname{Var}(A+B+C) \\[8pt] = {} & \operatorname{Var}(A)+\operatorname{Var}(B) + \operatorname{Var}(C) + 2\operatorname{Cov}(A,B)+2\operatorname{Cov}(B,C) + 2\operatorname{Cov}(A,C) \\[8pt] \ge {} & 0 \end{align}

Ahora dejemos que $A=X/\operatorname{std}(X)$ y similares para $B$ y $C$ por lo que obtenemos

$3+2\operatorname{Corr}(X,Y)+2\operatorname{Corr}(Y,Z)+2\operatorname{Corr}(X,Z) \ge 0$ como desee.