La relación entre las incrustaciones de espacios de funciones y sus respectivas desigualdades

Question

Sea $L^{p,\infty}$ ser el débil $L^p$ espacio formado por funciones medibles $f$ satisfaciendo \begin{equation*} ||f||_{p,\infty}:=\sup_{\rho}\rho\lambda (|f|>\rho)^{\frac{1}{p}}<\infty . \end{equation*}

Dado que tenemos la incrustación $L^p(\mathbb{T}^n)\subset L^{p,\infty}(\mathbb{T}^n)$ con $\mathbb{T}^n$ les $n-$ toroide dimensional, entonces ¿cómo es que esto es equivalente a escribir \begin{equation*} ||\cdot||_{p,\infty}\leq ||\cdot||_p? \end{equation*} La desigualdad sugiere que el $L^p$ norma es controlar el comportamiento de los débiles $L^p$ pero ¿dice la incrustación que débil $L^p$ está controlando el comportamiento de $L^p$ ? ¿Por qué la desigualdad no es al revés?

Esto es sólo un ejemplo, pero lo he visto con muchas otras desigualdades e incrustaciones.

Esto puede ser trivial, pero sólo quería una aclaración. Gracias de antemano.

Answer 1

Para responder a su segunda y tercera pregunta, observe que la desigualdad $\| \cdot\|_{p,\infty} \le \|\cdot\|_p$ conduce a $$ \|\cdot\|_p < \infty \implies \|\cdot\|_{p,\infty} < \infty$$ que a su vez da $$f \in L^p \implies f \in L^{p,\infty}$$ es decir, $L^p \subset L^{p,\infty}$ . Por eso la desigualdad parece retroceder desde la contención.

---

¿Cómo surge la desigualdad de la contención? Si $X \subset Y$ son espacios de Banach y la identidad $I : X \to Y$ es continua, entonces existe $C$ satisfaciendo $\|f\|_Y \le C \|f\|_X$ .