$r\angle \theta = r(\cos \theta + i \sin \theta)$

Question

Estoy mirando el libro Visual Complex Analysis y la primera sección de práctica pide que repases algunas de las afirmaciones sobre los números complejos y te demuestres a ti mismo que son ciertas. Hay uno que utiliza la notación en el título y que dice que el ángulo entre el $x$ y el vector de números complejos es $\cos \theta + i\sin \theta$ . Sé que esto es algo muy simple y sin embargo no puedo mostrar esto...

Answer 1

Cualquier número complejo $z$ puede expresarse de 3 formas equivalentes:

1. Forma algebraica $$z = a + ib,$$ para algunos $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R}.$
2. Forma trigonométrica $$z = r(\cos(\theta) + i \sin(\theta)),$$

où

$$r = \sqrt{a^2 + b^2},$$

y $\theta$ es el ángulo entre el eje x y el vector de números complejos . $\theta$ se denomina argumento de $z$ . Por favor, lea este para más detalles.

3. Forma exponencial

$$z = re^{i\theta},$$

où $r$ y $\theta$ se definen como antes.

Answer 2

¿Puedes sacar algo de esta foto?

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[Añadido en respuesta a los comentarios] Obsérvese que en la notación $\angle\theta$ , $\theta$ es el argumento (ángulo) de $z$ pero todo el asunto $\angle\theta$ no lo es. Lee la página 7 del libro de Needham sobre la propiedad de $\angle\theta$ . Tenga en cuenta que, para cualquier $\theta$ y $\phi$ tenemos $\angle(\theta+\phi)=\angle\theta+\angle\phi$ . Pero no es cierto que $\theta\phi=\theta+\phi$ (si $\angle\theta=\theta$ Esto sería cierto). Leyendo el último capítulo del libro, usted encontrará más adelante que $\angle\theta=e^{i\theta}$ .