Conversión $\mathbb{C}$ tranformación lineal con determinante $a+bi$ en un $\mathbb{R}$ -transformación lineal con determinante $a^2+b^2$ .

Question

Sea $V=\mathbb{C}^2$ . Sea $T:V\rightarrow V$ denotan a $\mathbb{C}$ tranformación lineal con determinante $a+bi$ , $a,b\in \mathbb{R}$ . Demostrar que si consideramos $V$ como $4-$ espacio vectorial real dimensional, el determinante de $T$ como $\mathbb{R}$ -de este espacio es $a^2+b^2$ .

Sea $\left[ \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \end{array} \right] = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} \times \left[ \begin{array}{c} z_1 \\ z_2 \end{array} \right]$ sea la transformación donde det $\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ u_{21} & u_{22} \end{bmatrix} =a+bi$ . Luego iba a ampliar esto escribiendo cada complejo no. $z_j$ y $u_{ij}$ en la forma $x+iy$ où $x,y$ real. Entonces parecía tan desordenado. ¿Hay alguna manera sencilla de resolver esto? ¿Puede alguien ayudar, por favor?

Answer 1

Es útil pensar en términos de matrices de bloques. Debería encontrar $T:V_{\Bbb R} \to V_{\Bbb R}$ dada por $$ \pmatrix{ \pmatrix{a_1\\b_1}\\ \pmatrix{a_2\\b_2} } \mapsto \pmatrix{ \pmatrix{a_{11} & -b_{11}\\b_{11} & a_{11}} & \pmatrix{a_{12} & -b_{12}\\b_{12} & a_{12}} \\ \pmatrix{a_{21} & -b_{21}\\b_{21} & a_{21}} & \pmatrix{a_{22} & -b_{22}\\b_{22} & a_{22}} } \pmatrix{ \pmatrix{a_1\\b_1}\\ \pmatrix{a_2\\b_2} } $$ Dónde $z_i = a_i + b_i$ y $u_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ .

A continuación, puede hallar el determinante de la matriz de bloques utilizando el hecho de que cada par de "entradas de bloque" conmuta.