La igualdad de la suma de poderes

Question

Hola a todos, tengo un problema al probar los lemas para algunos problemas de combinatoria, y es una pregunta acerca de los números enteros.

Vamos

$\sum_{k=1}^m a_k^t = \sum_{k=1}^n b_k^t$

ser una ecuación, donde $m, n, t, a_i, b_i$ son enteros positivos, y $a_i \neq a_j$ todos los $i, j$, $b_i \neq b_j$ todos los $i, j$, $a_i \neq b_j$ todos los $i, j$.

¿La igualdad no tienen soluciones?

Para $n \neq m$, es fácil encontrar soluciones para $t=2$ por el teorema de Pitágoras, e incluso para $n = m$, tenemos soluciones como

$1^2 + 4^2 + 6^2 + 7^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2$.

Para $t > 2$, similar igualdades:se

$1^2 + 4^2 + 6^2 + 7^2 + 10^2 + 11^2 + 13^2 + 16^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 8^2 + 9^2 + 12^2 + 14^2 + 15^2$ y $1^3 + 4^3 + 6^3 + 7^3 + 10^3 + 11^3 + 13^3 + 16^3 = 2^3 + 3^3 + 5^3 + 8^3 + 9^3 + 12^3 + 14^3 + 15^3$,

y podemos extender este truco para todos los $t > 2$.

La pregunta es, si se introduce una restricción, es decir, $|a_i - a_j| \geq 2$ $|b_i - b_j| \geq 2$ todos los $i, j$, es todavía posible encontrar soluciones para la ecuación?

Para $t = 2$ podemos combinar dos ternas Pitagóricas, decir,

$5^2 + 12^2 + 25^2 = 7^2 + 13^2 + 24^2$,

pero ¿qué hay de los casos para$t > 2$$n = m$?

Answer 1

Aún más difícil problema de $t>2$ $n=m$ es el Prouhet–Quédate–Escott problema. Ahora yo se lo dejo a usted y a google a encontrar un montón de ejemplos ;-)

http://en.wikipedia.org/wiki/Prouhet-Tarry-Escott_problem

Answer 2

Un conjunto de soluciones para t = 3 es la clase de números conocidos como Taxis, Números, nombrado después de que el número de un taxi G. H. Hardy tomó, 1729, que Ramanujan mencionado fue igual a 1³ + 12³ = 9³ + 10³. Este ejemplo en particular falla, como|10 - 9| = 1 < 2, pero hay otras Taxi números, tales como:
167³ + 436³ = 228³ + 423³ = 255³ + 414³.

Este podría ser un sitio útil para su pregunta.

-Gabriel Benamy

Answer 3

Para cualquier $t$ si $m$ es lo suficientemente grande en relación a $t$, e $n$ es cualquier entero positivo (posiblemente igual a $m$), luego el círculo método demuestra que no existe una secuencia infinita de cada vez más grandes soluciones que las relaciones entre el $a_1,\ldots,b_n$ enfoque de cualquier real positivo relaciones que se desee (suponiendo que una solución real con los ratios existe para ese $m,n,t$). Esto responde a su pregunta con mucho más fuertes desigualdades que las que se imponen. Si lo desea, puede especificar simultáneamente los residuos de la $a_i$ $b_j$ modulo un número fijo $N$, a condición de que los residuos son compatibles con la ecuación. De hecho, de nuevo al $m \gg t$, usted puede incluso fijar el $b_j$ anticipado: la solución al problema de Waring garantiza la existencia de $a_1,\ldots,a_m$, y un leve fortalecimiento permite imponer su desigualdades demasiado, si $b_j$ son lo suficientemente grandes. (Prueba: el método de círculo de nuevo.)