Ejemplo de curva no rectificable con integral de longitud de arco finita

Question

Si $y=f(x)$ es una función de valor real para $x\in[0,1]$ es la gráfica de una curva rectificable, entonces la integral $\int_0^1 \sqrt{1+f'(x)^2}dx$ converge y se dice que es su longitud de arco. Según mi profesor, la convergencia de esta integral no implica que la curva sea rectificable. Espero que alguien pueda dar un ejemplo de una curva $f$ para la que esta integral es finita, y $f$ no es rectificable.

Ahora, sé que cualquier $C^1$ es rectificable, por lo que en un contraejemplo, yo esperaría inicialmente que la integral dada fuera impropia y por tanto probablemente se produjera algún mal comportamiento en el punto final, como con $\sin(1/(\pi x))$ . Entonces podemos encontrar una secuencia de puntos $x_1,x_2,x_3,x_4, \cdots$ donde $(f(x_2)-f(x_1)) + (f(x_4) - f(x_3)) + \cdots$ es infinito. Pero, si esta suma es infinita entonces parece que la integral es infinita también ya que $$f(x_2) - f(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f'(x)dx < \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+f'(x)^2}dx$$ y sumando esto un montón dará algo más que infinito.

Así que esa idea está frita. De alguna manera tenemos que llegar a una curva que no es rectificable por otra razón, como su derivada existe, pero es discontinua en todas partes o algo extraño. ¿Alguna idea?

Answer 1

Creo que esto funcionará, pero me llevará algún tiempo redactar una prueba completa. (Véase la actualización más abajo).

Sea $\phi \colon [0, 1] \to [0, 1]$ sea el Función de Cantor .

De verdad $a, b, k,$ y $h > 0,$ considere esta función ( $[b, b + k]$ significa $[b + k, b]$ si $k < 0$ ): $$ \phi^* = \Phi(a, h, b, k) \colon [a, a + h] \to [b, b + k], \ x \mapsto b + k\phi\left(\frac{x - a}h\right). $$ Daré por sentado, sin pruebas por el momento, que $\phi^*$ es diferenciable en casi todas partes, con derivada cero donde está definida (esto se deduce de propiedades bien conocidas de $\phi,$ por lo que no es necesario demostrarlo aquí) y (espero que esto no sea muy difícil de demostrar, quizás expresando $\phi^*$ como límite uniforme de funciones "escalonadas" basadas en aproximaciones al conjunto de Cantor) el gráfico de $\phi^*$ es rectificable, con longitud de arco $h + |k|.$ (Según el artículo de Wikipedia, se sabe que esto es cierto cuando $h = k.$ Intuitivamente está bastante claro por qué es así, y la prueba debería generalizarse al caso de distintos $h, k.$ )

Para $n = 0, 1, 2, \ldots,$ deje $s_n$ sea el $n^\text{th}$ suma parcial de la serie: $$ 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \log2. $$

Construir una función continua $f \colon [0, 1] \to [0, 1]$ pegando estas funciones, para $k = 0, 1, 2, \ldots$ : \begin{align*} \Phi\left(1 - \frac1{2^{2k}}, \frac1{2^{2k+1}}, s_{2k}, \frac1{2k+1}\right) & \colon \left[1 - \frac1{2^{2k}}, 1 - \frac1{2^{2k+1}}\right] \to [s_{2k}, s_{2k+1}], \\ \Phi\left(1 - \frac1{2^{2k+1}}, \frac1{2^{2k+2}}, s_{2k+1}, -\frac1{2k+2}\right) & \colon \left[1 - \frac1{2^{2k+1}}, 1 - \frac1{2^{2k+2}}\right] \to [s_{2k+2}, s_{2k+1}], \end{align*} donde: \begin{gather*} f\left(1 - \frac1{2^{n}}\right) = s_n \quad (n = 0, 1, 2, \ldots), \\ f(1) = \log2. \end{gather*}

Entonces $f$ es diferenciable en casi todas partes, con derivada cero dondequiera que se defina, por lo tanto:

[Como ha señalado Paramanand Singh en los comentarios, y como he ido comprendiendo poco a poco, la expresión de la izquierda no puede entenderse como una integral de Riemann, por lo que mi respuesta no se ajusta estrictamente a los términos de la pregunta. (Véase la segunda actualización, más abajo)]. $$ \int_0^1\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx = 1. $$ Pero para $n = 1, 2, 3, \ldots,$ el gráfico de la restricción de $f$ al intervalo $[0, 1 - 2^{-n}]$ tiene longitud de arco: $$ 1 - \frac1{2^n} + \left(1 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n\right) $$ y ésta es ilimitada, por lo que el gráfico de $f$ no es rectificable.

Actualización

Resulta extraordinariamente fácil demostrar que la longitud de arco de la gráfica de $\phi^*$ es $h + |k|.$

La hermosa y simple respuesta de @user856 a Longitud del arco de la función de Cantor dice todo lo que realmente se necesita, pero puede malinterpretarse, como se desprende de uno de los comentarios al respecto. La misma reserva se aplica al breve comentario de Dustan Levenstein sobre Formas elementales de calcular la longitud de arco de la función de Cantor (y de la función singular en general) que creo que es una versión del mismo argumento. Con la esperanza de que se entienda fácilmente, voy a trabajar la prueba. ¡Perdón!

Para $n = 1, 2, 3, \ldots,$ el $n^\text{th}$ etapa de la construcción tradicional del "tercio medio" del conjunto de Cantor da como resultado $m = 2^n - 1$ intervalos abiertos disjuntos por pares, el menor de los cuales tiene longitud $\left(\frac13\right)^n,$ y cuyas longitudes suman $1 - \left(\frac23\right)^n.$ Dado $\epsilon > 0$ con $\epsilon < 2h,$ toma $n$ lo suficientemente grande como para que $\left(\frac23\right)^n < \frac{\epsilon}{2h}.$ Ordene los intervalos abiertos en orden ascendente como $J_1, J_2, \ldots, J_m.$

Establecer $q_0 = 0, p_m = 1.$ En $J_i,$ para $i = 1, 2, \ldots, m,$ tomar un subintervalo cerrado $[p_{i-1}, q_i],$ donde: $$ q_i - p_{i-1} \geqslant \left(1 - \frac{\epsilon}{2h}\right)|J_i|. $$

Construir una cadena poligonal $Q_0P_0Q_1P_1\cdots Q_mP_m$ de puntos en la gráfica de $\phi^*,$ donde: $$ P_i = (a + hp_i, b + k\phi(p_i)),\quad Q_i = (a + hq_i, b + k\phi(q_i)) \qquad (i = 0, 1, \ldots, m). $$ Porque $\phi$ es constante en cada uno de $J_1, J_2, \ldots, J_m,$ y porque en particular $\phi(p_{i-1}) = \phi(q_i)$ para $i = 1, 2, \ldots, m,$ la longitud de la cadena es: \begin{align*} & \phantom{={}} \sum_{i=1}^m\|P_{i-1}Q_i\| + \sum_{i=0}^m\|Q_iP_i\| \\ & = \sum_{i=1}^mh(q_i-p_{i-1}) + \sum_{i=0}^m\sqrt{h^2(p_i-q_i)^2 + k^2(\phi(p_i)-\phi(q_i))^2} \\ & > h\sum_{i=1}^m(q_i-p_{i-1}) + |k|\sum_{i=0}^m (\phi(p_i)-\phi(q_i)) \\ & > h\left(1 - \frac{\epsilon}{2h}\right)\sum_{i=1}^m|J_i| + |k|(\phi(p_m) - \phi(q_0)) \\ & > h\left(1 - \frac{\epsilon}{2h}\right)^2 + |k|(\phi(1) - \phi(0)) \\ & > h + |k| - \epsilon. \end{align*}

Espero que se desprenda claramente de la desigualdad del triángulo -sin que yo me extienda en los detalles de la misma manera- que la longitud del cualquier cadena $Q_0R_1R_2\cdots R_lP_m$ de puntos sucesivos en la gráfica de $\phi^*$ es como máximo $h + |k|.$

De ello se deduce que la longitud de arco del gráfico de $\phi^*,$ definido como el límite superior mínimo de las longitudes de todas esas cadenas, está bien definido y es igual a $h + |k|.$

Segunda actualización

Intentaré explicar con todo lujo de detalles lo que tanto me ha confundido, ¡para reducir el riesgo de confundir a los demás! La función $g(x) = \sqrt{1 + f'(x)^2}$ y tiene el valor constante $1,$ en un conjunto abierto $E \subset [0, 1],$ cuyo complemento (una unión de contablemente muchas copias escaladas y traducidas del conjunto de Cantor) tiene medida $0.$ Por lo tanto, cualquier ampliación de $g$ a todo el $[0, 1]$ es integrable de Riemann, y el valor de cualquier integral de este tipo es $1.$ Así es no seguir que $g$ es Riemann integrable en $[0, 1]!$ Simplemente no existe una definición de la Riemann que se aplique aquí.

Hasta donde yo sé, lo mejor que se puede hacer utilizando el Riemann es aplicar, por ejemplo, la sección 11.2 de Vladimir A. Zorich, Análisis Matemático II (primera edición de 2004), según la cual $E$ es un "conjunto admisible", y: $$ \int_E\sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx= 1. $$ Se trata de una integral de Riemann propiamente dicha (Zorich también da una definición de una integral de Riemann impropia, que aquí no añade nada), pero me parece este pequeño consuelo.