Convergencia del producto infinito $\prod_{n = 1}^{\infty} \frac{z - \alpha_n}{z - \beta_n}$

Question

Llevo un tiempo intentando resolver este problema de deberes, pero no consigo encontrar ninguna idea significativa sobre cómo enfocarlo, así que agradecería mucho cualquier pista que pudiera ayudarme a resolverlo.

El problema es el ejercicio 8.14 del libro Function Theory of One Complex Variable de Steven Krantz y Robert Greene. Es el siguiente:

S $$\sum |\alpha_n - \beta_n| < \infty$$ A continuación, determine el mayor conjunto abierto de $z$ f $$\prod_{n = 1}^{\infty} \frac{z - \alpha_n}{z - \beta_n}$$ converge normalmente.

Lo que he intentado hasta ahora es escribir los factores como

$$\frac{z - \alpha_n}{z - \beta_n} = 1 + \frac{z - \alpha_n}{z - \beta_n} - 1 = 1 + \frac{\beta_n - \alpha_n}{z - \beta_n}$$

para poner el producto infinito en la forma $\displaystyle{\prod (1 + f_n(z))}$ para intentar aplicar el criterio básico de convergencia que tengo disponible y que dice que este producto convergería normalmente si la serie

$$\sum |f_n(z)|$$ converge normalmente. Ahora estoy un poco atascado aquí porque creo que tal vez tendría que limitar esta suma con la suma $\sum |\alpha_n - \beta_n|$ pero no estoy seguro de cómo proceder (suponiendo que este sea el camino correcto a seguir).

Así que agradecería mucho alguna pista que me llevara por el buen camino para solucionar este problema. Muchas gracias.

Answer 1

Pista:

Supongamos que $z\in\mathbb{C}\setminus\overline{\{b_n\}}$ entonces existe un $\epsilon>0$ para que $|z-b_n|\ge\epsilon$ para todos $n$ . Entonces, $$\sum_n\left|\frac{b_n-a_n}{z-b_n}\right|\le\frac{1}{\epsilon}\sum_n|b_n-a_n|<\infty\tag{1}$$ Desigualdad $(1)$ implica que $$\prod_n\frac{z-a_n}{z-b_n}=\prod_n\left(1+\frac{b_n-a_n}{z-b_n}\right)\tag{2}$$ converge.

Answer 2

Creo que estás muy cerca.

El criterio de convergencia que utiliza es correcto:

Observamos que

$$|\beta_n - \alpha_n| = |\alpha_n - \beta_n|$$

así que $$\left|\frac{\beta_n - \alpha_n}{z - \beta_n}\right| < |\alpha_n - \beta_n|$$ Como sabes que las series absolutas convergen según la definición de la pregunta entonces $$\sum \left|\frac{\beta_n - \alpha_n}{z - \beta_n}\right| \leqslant \sum |\alpha_n - \beta_n| < \infty$$ por lo que converge por el teorema de comparación de límites.

Según el mayor conjunto abierto, la condición necesaria para la convergencia es $\left|\frac{\beta_n - \alpha_n}{z - \beta_n} \right| \leqslant |\alpha_n - \beta_n|$ Resolver para $z$ .