Sea $M_n(\mathbb{C})$ denotan las matrices n por n sobre el campo de números complejos. N es un subespacio de $M_n(\mathbb{C})$ .
Si todas las matrices de N son no invertibles, ¿cuál es la dimensión máxima de N?
Si todas las matrices de N conmutan entre sí, ¿cuál es la dimensión máxima de N?
Si todas las matrices de N son nilpotentes, ¿cuál es la dimensión máxima de N?
Si todas las matrices distintas de cero de N son invertibles, ¿cuál es la dimensión máxima de N?
1. "No invertible" significa rango $\leq n-1$ y, por tanto, el límite superior $n\left(n-1\right)$ se deduce del teorema del apartado 8.3 de Problemas y teoremas de álgebra lineal" de Victor Prasolov . (Vaya a la página 58.) La referencia que allí se da es Flandes H., Sobre espacios de transformaciones lineales con rango limitado J. London Math. Soc. 37 (1962), pp. 10-16.
2. Podemos WLOG suponer que nuestro subespacio $N$ es en realidad una subálgebra de $\mathrm{M}_n\left(\mathbb C\right)$ (porque si no, podemos sustituirla por la subálgebra que genera, y seguirá teniendo la propiedad de que dos cualesquiera de sus elementos conmutan), así que la pregunta es cómo de grande es una subálgebra conmutativa de $\mathrm{M}_n\left(\mathbb C\right)$ puede conseguir. La respuesta es que la dimensión máxima posible de tal subálgebra es $\left\lfloor \dfrac{n^2}{4} \right\rfloor + 1$ y esto es resultado de I. Schur (véanse los 2 enlaces de ese tema). Una prueba (relativamente) corta se puede encontrar en M. Mirzakhani, Demostración sencilla de un teorema de Schur , The American Mathematical Monthly, Vol. 105, No. 3 (Mar., 1998), pp. 260--262 .
4. Aquí la dimensión máxima es $1$ y Petya ha dicho por qué.
En cuanto a 3. puedo demostrar el límite superior $\frac{n^2}{2}$ (curiosamente, para $\mathbb C$ solamente), pero desgraciadamente hay espacio entre él y el límite inferior $\frac{n\left(n-1\right)}{2}$ .
Para el problema 4 sobre el campo real, la respuesta es la función de Radon-Hurwitz en $n$ . Véase, por ejemplo Petrovic, "Sobre matrices no singulares y periodicidad de Bott". La función Radon-Hurwitz se define como $\rho(n)=8a+2^b$ donde la mayor potencia de 2 que divide a $n$ es $2^{4a+b}$ , $a\geq 0$ , $0\leq b\leq 3$ .
Estimado zhaoliang, aquí está la respuesta (de la tesis de Gerstenhaber) a la pregunta 3 .
a) La dimensión máxima de un espacio de $n$ veces $n$ matrices nilpotentes es $\frac {n(n-1)}{2}$ .
b) Los subespacios de esa dimensión son exactamente: el espacio de matrices triangulares estrictamente superiores y sus conjugados.
He aquí un artículo relacionado bastante moderno en cuya bibliografía encontrará las referencias originales : http://www.win.tue.nl/~jdraisma/publications/NilpotentSubspacesv14.pdf
Si entiendes portugués matemático (que es fácil), aquí
http://ptmat.fc.ul.pt/~pedro/tese.pdf
es una interesante tesis que ataca este tipo de problemas tanto con geometría algebraica como con combinatoria: una combinación que debería calentar el corazón de muchos MathOverflower...
No, no es una tarea. ¿Crees que una tarea puede ser tan difícil como estas? :P.
Los propuse yo mismo. Por supuesto, no sé si otros los han resuelto. Son muy 'natrul' y fáciles de formular, pero me resulta bastante difícil tratar con ellos.
para I, supongo que es n(n-1), el A satisfacer Ax=0 para un x dado no 0 está bien
para II, supongo que es n(n-1)/2, uptriangle con cero engenvalues será suficiente
para III y IV no tengo ni idea.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
