Modelo geométrico para clasificar espacios de grupos alternos

Question

El espacio clasificador del n-ésimo grupo simétrico $S_n$ es bien conocido que se modela por el espacio de subconjuntos de $R^\infty$ de cardinalidad $n$ . Varios subgrupos de $S_n$ tienen modelos relacionados. Por ejemplo, $B(S_i \times S_j)$ se modela mediante subconjuntos de $R^\infty$ de cardinalidad $i + j$ con $i$ puntos de color rojo y $j$ puntos de color azul. Más diversión: el producto corona $S_i \int S_j \subset S_{ij}$ tiene un espacio de clasificación modelado por $ij$ puntos divididos en $i$ conjuntos de cardinalidad $j$ (pero estos conjuntos no están "coloreados").

Mi pregunta: ¿existe algún modelo geométrico, preferiblemente relacionado con éstos, para clasificar espacios de grupos alternos? [Nota: dado que cualquier grupo finito es un subgrupo de un grupo simétrico, uno no esperaría encontrar modelos geométricos de subgrupos arbitrarios, pero los grupos alternos parecen suficientemente especiales...].

Answer 1

$n$ puntos linealmente independientes en $R^\infty$ junto con una orientación del $n$ -plano que abarcan.

Answer 2

Probablemente lo correcto sea expresar el espacio clasificatorio de $A_n$ como la doble cubierta no trivial del espacio clasificador de $S_n$ . Un punto en el espacio de clasificación es entonces un conjunto de $n$ puntos en $\mathbb{R}^\infty$ con una "ordenación de signos". Un ordenamiento por signos es una clase de equivalencia de ordenamientos de los puntos, es decir, formas de numerarlos de 1 a $n$ hasta permutaciones pares. Acuñé el término "ordenación por signos" por analogía con una ordenación cíclica. Pero dejando a un lado este nombre, la idea surge continuamente bajo distintas formas. Por ejemplo, la orientación de un simple es, por definición, una ordenación por signos de sus vértices.

Esto sigue la misma línea que tus otros ejemplos y, por supuesto, puedes hacer algo similar con cualquier subgrupo $G \subseteq S_n$ . Siempre se puede elegir una ordenación de los puntos hasta el reetiquetado por un elemento de $G$ .

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Un poco más caprichosamente, se podría llamar al espacio de configuración de $n$ puntos ordenados por signos en una variedad "el espacio de configuración de $n$ fermiones". Aunque un modelo más estricto del $n$ fermiones es el sistema local o haz de líneas planas en $n$ puntos desordenados, en los que la holonomía niega la fibra cuando induce una permutación impar de los puntos. Este sistema local es similar al espacio ordenado por signos en el sentido de que el espacio ordenado por signos es el haz principal asociado con el grupo estructural $C_2$ .