En general, si $x$ y $y$ son vectores ortogonales en un espacio de producto interior, entonces $$ \|x \pm y\|^{2} = \|x\|^{2} + \|y\|^{2}. $$ (Esto se suele llamar el Teorema de Pitágoras, por razones obvias).
El vector $u - P_{U}(v)$ se encuentra en $U$ mientras que $v - P_{U}(v)$ es ortogonal a $U$ (que es esencialmente la definición de la proyección ortogonal de $v$ a $U$ ), y $$ u - v = \bigl(u - P_{U}(v)\bigr) - \bigl(v - P_{U}(v)\bigr). $$ Su primera conclusión se deduce inmediatamente del Teorema de Pitágoras tomando $x = u - P_{U}(v)$ y $y = v - P_{U}(v)$ .
En consecuencia, $$ \|v - P_{U}(v)\|^{2} \leq \|v - P_{U}(v)\|^{2} + \|u - P_{U}(v)\|^{2} = \|u - v\|^{2}\quad\text{for all $ u $ in $ U $,} $$ con igualdad si y sólo si $u = P_{U}(v)$ . En palabras, $P_{U}(v)$ está más cerca de $v$ que cada elemento de $U$ . (Si eso no resulta evidente a primera vista (lo que suele ocurrir la primera vez que se ve esto), inspeccione cada término y piense en lo que significa).
Para (ii), desea calcula $P_{U}(v)$ para el subespacio dado $U$ y el vector $v$ . Por suerte, la base de $U$ que se ha proporcionado es ortonormal: Cada uno de $u_{1}$ y $u_{2}$ es un vector unitario, y $\langle u_{1}, u_{2}\rangle = 0$ . Probablemente disponga de una fórmula para la proyección ortogonal a un subespacio $U$ cuando una base ortonormal de $U$ se da...?
Si esa fórmula no te suena, puedes derivarla sobre la marcha: Existen escalares $c_{1}$ y $c_{2}$ tal que $$ P_{U}(v) = c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2}. $$ Desde $v - P_{U}(v)$ es ortogonal a $U$ , tienes $$ \langle v - (c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2}), u_{1}\rangle = 0,\qquad \langle v - (c_{1} u_{1} + c_{2} u_{2}), u_{2}\rangle = 0. $$ Desde $\{u_{1}, u_{2}\}$ es ortonormal, las ecuaciones anteriores pueden resolverse fácilmente (casi por inspección) para $c_{1}$ y $c_{2}$ distribuyendo el producto punto.
