Yo creo que lo tengo. No hay tal contraejemplo. Les doy la bienvenida y agradecemos cualquier comentario sobre la prueba a continuación, el cual depende de las ideas presentadas por Klee (1952).
$\textbf{Claim:}\quad$Si $(X,\|\cdot\|)$ es completamente metrizable normativa espacio vectorial, entonces es un espacio de Banach.
Prueba:$\quad$Supongamos que $(X,\|\cdot\|)$ es una normativa espacio vectorial y $d$ es una completa métrica que define la misma topología $\|\cdot\|$. Considere la posibilidad de la doble doble de la $X^{**}$, el espacio vectorial de los delimitada lineal funcionales en el espacio delimitado lineal funcionales en $X$. Deje $\psi:X\to X^{**}$ denotar la "natural mapa" (definido de tal forma que si $f\in X^*$, $\psi(x)(f)\equiv f(x)$ cualquier $x\in X$). Uno puede usar el de Hahn–Banach teorema para demostrar que $\psi$ es un inyectiva isometría lineal entre el $(X,\|\cdot\|)$ $(X^{**},\|\cdot\|^{**})$ donde $\|\cdot\|^{**}$ es el operador de la norma en $X^{**}$.
Deje $Y$ denotar el cierre de $\psi(X)$$X^{**}$. Desde $(X^{**},\|\cdot\|^{**})$ es siempre un espacio de Banach, se deduce que el $(Y,\|\cdot\|^{**})$ es un espacio de Banach en su derecho propio, como un subespacio cerrado.
Definir una métrica $\delta$ $\psi(X)$ como sigue:
$$\delta(\psi(x),\psi(y))\equiv d(x,y)\quad\forall x,y\in X.$$
No es difícil mostrar que $\delta$ es una completa métrica en $\psi(X)$, dado que el $d$ en $X$. Por otra parte, $\delta$ define la misma topología en $\psi(X)$ como la relativa $\|\cdot\|^{**}$-la topología de la norma, dado que cualquier $\delta$-abrir la pelota en $\psi(X)$ contiene un $\|\cdot\|^{**}$-abrir la pelota y viceversa. (Para probar esto, se puede utilizar los hechos de que $\psi$ es una isometría lineal entre el$(X,\|\cdot\|)$$(\psi(X),\|\cdot\|^{**})$, y que cualquiera de $d$-abrir subconjunto de $X$ $\|\cdot\|$- abrir). Por lo tanto, $\psi(X)$ es completamente metrizable subespacio de $Y$, lo $\psi(X)$ debe ser un $G_{\delta}$ subconjunto de $Y$ (una contables intersección de $\|\cdot\|^{**}$a abrir los subconjuntos de $Y$): $$\psi(X)=\bigcap_{n=1}^{\infty} U_n,$$
donde, para cada $n\in\mathbb N$, $U_n\subseteq Y$ es $\|\cdot\|^{**}$-abierto (véase, por ejemplo, el Lema de 3.33 en Aliprantis de la Frontera, 2006, pág. 88 o Teorema de 24.12 en Willard, 2004, pp 179-180). Estos bloques abiertos también son densos en $Y$ que $\psi(X)$ es, por lo
$$Z\equiv Y\setminus\psi(X)=\bigcup_{n=1}^{\infty}Y\setminus U_n$$
es de la primera categoría, ya que $Y\setminus U_n$ es cerrado y denso en ninguna parte para cada una de las $n\in\mathbb N$.
Supongamos que $Z$ no está vacío. Entonces, existe alguna $z\in Z$. Vamos
$$W\equiv\{z+\psi(x)\,|\,x\in X\}.$$
Desde $\psi(X)$ es un subespacio de $Y$, es fácil ver que $W\subseteq Z$ y, por tanto, $W$ es de la primera categoría. De ello se deduce a partir de una traducción simple argumento de que $\psi(X)$ es también de primera categoría. En consecuencia, $Y=\psi(X)\cup Z$ es de la primera categoría, también, contradiciendo de categoría de Baire teorema de ($Y$ es un espacio de Banach). Por lo tanto, $Z$ debe estar vacío. En otras palabras, $\psi(X)=Y$ es un espacio de Banach con la norma $\|\cdot\|^{**}$, y desde $\psi$ es una isometría lineal entre el $(X,\|\cdot\|)$ y $(\psi(X),\|\cdot\|^{**})$, $(X,\|\cdot\|)$ es un espacio de Banach. La prueba está completa. $\blacksquare$
