Singularidad FTOFAG

Question

¿Cómo se demuestra la unicidad para el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos? El libro que estoy usando tiene esta prueba no muy bien escrito que no puedo seguir.

Así que siguiendo esta demostración, multiplico por $p$

$$(1)p\mathbb{Z}_{p^{\alpha _1}} \oplus p\mathbb{Z}_{p^{\alpha _2}}\oplus.....\oplus p\mathbb{Z}_{p^{\alpha _n}}=p\mathbb{Z}_{p^{\beta _1}} \oplus p\mathbb{Z}_{p^{\beta _2}}\oplus.....\oplus p\mathbb{Z}_{p^{\beta _m}}$$

Del segundo isomorfismo tenemos esta relación $$(2)\frac{\mathbb{Z}_ p }{p \mathbb{Z}_{p^{\alpha_1}}} \cong \mathbb{Z}_{p^{\alpha_1}}$$

Después de esto me pierdo, puedo aplicar la hipótesis inductiva a (1) pero tengo la sensación de que en (1), $m$ y $n$ no son los mismos que en antes de multiplicar por $p$ . Y tampoco entiendo por qué $\alpha_1 -1 = \beta -1...$ . ¿Cuál es el orden de $p\mathbb{Z}_{p^{\alpha_1}}?$ ¿Y cualquier otra ayuda? Gracias,

Actualización: ¿Puedo hacer esto? $\frac{p\mathbb{Z}}{p^{\alpha_1}\mathbb{Z}}= \frac{\mathbb{Z}}{p^{\alpha_1-1}\mathbb{Z}} =\mathbb{Z}_{p^{\alpha_1-1}}$ De ahí que el $\alpha_1 -1 = \beta_1 -1....>$ ¿de dónde proceden los términos?

Answer 1

Mi forma favorita de ver la singularidad es la siguiente: dado su $p$ -grupo $G$ consideremos los grupos $p^{i-1} G / p^i G$ . Cada uno de ellos es un módulo sobre $\mathbb{Z} / p$ el campo con $p$ elementos---es decir, cada uno es un espacio vectorial sobre el campo con $p$ elementos. Registre sus dimensiones de la siguiente manera:

$$\lambda_i=\mathrm{dim}_{\mathbb{Z}/p}(p^{i-1} G / p^i G).$$

Consideremos ahora cualquier descomposición

$$G=\mathbb{Z} / p^{\alpha_1} \oplus \mathbb{Z} / p^{\alpha_2} \oplus \cdots . $$ También podrías organizar las cosas de modo que la secuencia $\alpha_1 \geq \alpha_2 \geq \cdots$ no aumenta. Entonces el hecho básico es que la secuencia de $\lambda_i$ define el partición conjugada es decir $$\lambda_i=\#\{j \ | \ \alpha_j \geq i \}. $$ Si está familiarizado con los diagramas de Young de particiones, esto sólo significa que el diagrama de Young de $\lambda$ es la reflexión sobre la diagonal del diagrama de Young de $\alpha$ . Evidentemente $\lambda$ viene determinada por la isoclase de $G$ por lo que también lo es $\alpha$ .