Prueba $A\cap f^{-1}(z)\subset \cup_{i=1}^{n} O_i$ si $A\cap f^{-1}(y)\subset \cup_{i=1}^{n} O_i$ y $z$ está lo suficientemente cerca de $y$ cuando $A$ es compacto

Question

Quiero demostrar

Sea $A$ sea un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^d$ y $f$ sea una función continua definida en $A$ . Si $A\cap f^{-1}(y)\subset \cup_{i=1}^{n} O_i$ para un determinado $y$ donde $\{O_i\}_{i=1}^n$ es una colección de conjuntos abiertos, entonces $A\cap f^{-1}(z)\subset \cup_{i=1}^{n} O_i$ para cualquier $z$ lo suficientemente cerca de $y$ .

Sé que el hecho $A$ que sea compacta es esencial, porque puedo construir fácilmente una función continua cuya función inversa NO sea continua para que falle la conclusión. (En el enunciado anterior, $f$ no es necesariamente biyectiva). Pero no estoy seguro de cómo puedo hacer uso de esta condición de compacidad. Gracias por cualquier consejo.

Answer 1

Supongamos que la conclusión es falsa y supongamos una secuencia $\{z_j\}_{j=1}^{\infty}$ converge a $y$ . Entonces para $k$ lo suficientemente grande siempre puedo encontrar un $x_k\in f^{-1}(z_k)$ tal que $x_i\notin \cup_{i=1}^n O_i$ . Entonces obtenemos una nueva secuencia $\{x_k\}_{k=1}^\infty$ en el compacto $A$ . Por lo tanto, la secuencia debe converger a un $x$ en $A$ por la compacidad de $A$ . Por continuidad de $f$ , $\{f(x_k)\}_{k=1}^n$ converge a $y'=f(x)$ que no es posible que sea igual a $y$ desde $\{x_k\}$ se elige fuera del vecino $\cup_{i=1}^{\infty}O_i$ de $f^{-1}(y)$ . Por otra parte, $\{f(x_k)\}_{k=1}^{\infty}$ debe converger a $y$ desde $f(x_k)=z_k\in\{z_j\}_{j=1}^{\infty}$ . Entonces contradicción.