Conservación de la energía del pistón y el volante de inercia

Question

La pregunta se refiere a la mecánica clásica y a la conservación de la energía.

Imagina un pistón en un cilindro, tumbado de forma que el pistón se mueva horizontalmente. El cilindro está abierto por ambos extremos (no hay compresión de un gas). Para simplificar, supongamos que no hay fricción, ni sonido, ni efectos térmicos, ni gravedad, y que el sistema está aislado en el vacío.

El pistón tiene una biela unida a un volante giratorio. En consecuencia, el pistón oscila de un lado a otro dentro del cilindro. El movimiento del pistón se asemeja a un movimiento armónico simple; su energía cinética oscila a lo largo del tiempo, entre un máximo en el centro del cilindro, hasta cero en cualquiera de sus extremos.

Para un movimiento armónico simple (por ejemplo, un peso unido a un muelle y oscilando horizontalmente sobre una mesa sin fricción), es bien sabido que la oscilación de la energía cinética del peso es contrarrestada exactamente por una oscilación coincidente de la energía potencial (por ejemplo, la energía potencial debida a la compresión de un muelle) de tal manera que la energía total permanece constante en todo momento:

K = E sen^2(wt)

P = E cos^2(wt)

K + P = E

Además, dicho movimiento es indefinido (excluyendo la fricción, etc...).

La pregunta es: para el sistema descrito anteriormente en el que intervienen el pistón, el cilindro y el volante de inercia, ¿a dónde "va" la energía cinética a medida que el pistón desacelera hacia su punto estacionario en los extremos de su cilindro? ¿De dónde vuelve cuando el pistón acelera hacia su máxima energía cinética en el centro del cilindro? ¿Cómo funciona la conservación de la energía en este sistema? ¿Cuáles son las ecuaciones energía/tiempo de este sistema? ¿El volante de inercia gira indefinidamente con momento angular constante, o debe frenarse de alguna manera?

Answer 1

Habría que considerar la dinámica libre del pistón y el volante. Sin fuerzas exteriores (aparte de las que mantienen el pistón en cierta línea) ni pérdidas, ¿por qué un volante sin fuerza se movería siempre a una velocidad de rotación constante si la unión entre él y el pistón lo empuja de un lado a otro?

Si escribes tus ecuaciones de movimiento, te mostrarán que la velocidad angular del volante tiene que cambiar, lo que significa que no obtendrás el bonito movimiento armónico que buscas. Así que la energía cinética se equilibrará entre los dos cuerpos, el volante y el pistón.

7/14 Editar: Usted llamó a la sacudida de la moción y que tenía razón para sospechar de ella. Resulta que lo que tenía antes no tenía energía cinética constante, así que no podía ser correcto. Lo rehice, también lo hice con una biela sin masa, lo que permitió una sustitución conveniente. Existe algún valor $M$ tal que $I_f=Mr^2$ y esto permitirá simplificar bastante, del mismo modo, podemos utilizar $\rho=l/r$ una relación entre la distancia a la que la biela se une al volante de inercia $r$ a la longitud de la biela $l$ .

Como me equivoqué la última vez, voy a escribir aquí toda la derivación, ya que tendré que mirarla más a fondo y posiblemente encontrar algún problema por mi cuenta.

La posición se define únicamente por la orientación del volante de inercia $\theta$ . Ya que es conveniente el ángulo formado por la biela y la línea que recorre el pistón, $\phi$ $$ s = r~(cos\theta + \rho~cos\phi) \\ sin\theta = \rho~sin\phi \\ \rho~cos\phi=\sqrt{\rho^2-sin^2\theta} \\ s = r~cos\theta + r\sqrt{\rho^2-sin^2\theta} $$

La velocidad es sólo una derivada y todo está en el mismo eje por lo que no hay efectos de la rotación, $$ v = -r\dot{\theta}~sin\theta + \frac{-r\dot{\theta}~sin\theta~cos\theta}{\sqrt{\rho^2-sin^2\theta}} \\ v = -r\dot{\theta}~sin\theta~ f(\theta) \\ f(\theta) = 1 + \frac{cos\theta}{\sqrt{\rho^2-sin^2\theta}} $$

La energía cinética será, $$ T = m/2~v^2 + M~r^2\dot{\theta}^2 = M/2~r^2\dot{\theta}^2~g(\theta), \\ g(\theta) = 1 + \mu~sin^2\theta~f(\theta)^2 $$

Las ecuaciones de Euler-Lagrange serán las siguientes, fíjate que en la segunda de ellas, vemos que el momento no es constante. $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}} = \frac{\partial T}{\partial \theta} \\ \frac{d}{dt}\bigg[ Mr^2\dot\theta \bigg] = M/2~r^2 \dot\theta^2 g'(\theta) \\ \ddot\theta~g(\theta)+ \dot\theta^2 g'(\theta) = 1/2\dot\theta^2 g'(\theta) \\ \ddot\theta = -\frac{\dot\theta^2g'(\theta)}{2~g(\theta)} $$

Utilicé el programa ode45 con las condiciones iniciales del pistón a la máxima distancia y la rotación era de 1 rad/s para producir la posición y velocidad del volante, también utilicé $r=2$ , $l=10$ y $\mu=0.1$ Luego utilicé las ecuaciones derivadas anteriormente para el movimiento del pistón. Luego las energías dividieron la -algo- masa del volante de inercia, $M$ sería simplemente,

KEf = r^2/2 * dq.^2; % flywheel energy per it's mass
KEp =  mu/2 * dx.^2;   % piston energy per flywheel mass

Luego tracé los movimientos, cada uno de sus energías normalizadas, y aquí están.

El movimiento es mucho más suave, y la cosa que estoy usando para identificar este error no garantizado es que la energía total es constante.

Answer 2

Probablemente un forense podría dar una respuesta mejor, pero lo intentaré.

La pregunta es: para el sistema descrito anteriormente que incluye el pistón, el cilindro y el volante de inercia, ¿a dónde "va" la energía cinética cuando el pistón frena hacia su punto estacionario en los extremos del cilindro? ¿De dónde vuelve cuando el pistón acelera hacia su energía cinética máxima en el centro del cilindro?

La respuesta corta es que el volante de inercia transfiere energía cinética al pistón al desplazarse de un extremo al centro del cilindro y el pistón transfiere la misma cantidad de energía cinética de vuelta al volante de inercia al ir del centro al otro extremo (suponiendo volante y pistón sin pérdidas).

Consulte las figuras siguientes.

Un volante de inercia está diseñado para almacenar eficientemente la energía cinética rotacional. Resiste los cambios de rpm en virtud de su momento de inercia rotacional. La energía almacenada es proporcional al cuadrado de sus rpm y proporcional a su momento de inercia. Un volante de inercia cambia de velocidad (y, por tanto, de energía cinética) cuando se le aplica un par alineado con su eje de simetría.

En las figuras 1 y 5 el par aplicado es cero. Esto corresponde a las revoluciones máximas (energía cinética) del volante y al movimiento nulo (energía cinética) del pistón en los extremos.

En la figura 3, el par aplicado al volante es máximo. Esto corresponde a las rpm mínimas (energía cinética) del volante de inercia y al movimiento máximo (energía cinética) del pistón en el punto medio.

El intercambio de energía cinética entre el volante de inercia y el pistón también puede describirse en términos del principio trabajo-energía, que puede enunciarse del siguiente modo:

El cambio en la energía cinética de un objeto es igual al trabajo neto realizado sobre el objeto.

Al pasar de la figura 1 a la figura 3, el volante realiza un trabajo positivo sobre el pistón. El resultado es un cambio positivo en la energía cinética del pistón igual al trabajo realizado sobre el pistón, y un cambio negativo igual en la energía cinética del volante.

Al pasar de la figura 3 a la figura 5, el pistón sufre una aceleración negativa. La aceleración (y por tanto la fuerza) sobre el pistón es en sentido contrario al desplazamiento. Por lo tanto, se realiza un trabajo negativo sobre el pistón que da como resultado un cambio negativo en la energía cinética del pistón y un cambio positivo en la energía cinética del volante de inercia.

Debe tenerse en cuenta que la energía cinética almacenada en el movimiento de rotación del volante en cualquier instante debe ser mucho mayor que la del movimiento de traslación del pistón en cualquier instante. En consecuencia, para una transferencia dada de KE hacia o desde el volante de inercia, el cambio porcentual en rpm debería ser muy pequeño.

¿El volante de inercia gira indefinidamente con momento angular constante, o debe ralentizarse de algún modo?

En ausencia total de fricción tanto en el volante como en el cilindro del pistón, el volante girará indefinidamente. Pero siempre habrá algo de fricción.

Espero que esto ayude.