Límite de función en dos variables mediante definición

Question

Usando la definición,¿Cómo puedo encontrar ese límite de debajo de la función de $\mathbb{R}^2$ :

$1.\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\sin(x+y)}{(x+y)} $

$2. \displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0)} x \sin \bigg(\frac{1}{y}\bigg)+y \sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)$

Por favor, ayúdenme, gracias de antemano.

Answer 1

El punto 2 es trivial: basta con observar que los dos términos son la multiplicación de un infinitésimo y una cantidad acotada, por lo que el límite es cero. Más formalmente, elijamos $\epsilon>0$ y escribe $$ \left|x \sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x} \right| \leq |x| + |y| < \epsilon $$ siempre que $|x|<\frac{\epsilon}{2}$ , $|y|<\frac{\epsilon}{2}$ .

El punto 1 es delicado, ya que no es más que una reafirmación de un límite popular: $\lim_{z \to 0} \frac{\sin z}{z}=1$ con $z=x+y \to 0$ . Así que la respuesta es: el límite es $1$ y la demostración "elemental" puede leerse en la mayoría de los libros de cálculo.

Answer 2

Para $(2)$ observe que $$|x| \le \sqrt{x^2+y^2}$$ y $$|y| \le \sqrt{x^2+y^2}$$ . Por lo tanto $\epsilon \gt 0$ siempre que exista un $\delta \gt 0$ tal que $ \sqrt{x^2+y^2}\lt \delta$ tenemos $$\displaystyle | x \sin \bigg(\frac{1}{y}\bigg)+y \sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)-0|=\displaystyle | x \sin \bigg(\frac{1}{y}\bigg)+y \sin\bigg(\frac{1}{x}\bigg)| \le |x|+|y| \lt 2\delta$$

Eligiendo $\delta =\dfrac{\epsilon}{2}$ tendremos el límite $0$ .

Para $(1)$ utilizaremos el hecho de que $$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u}=1$$ . A partir de aquí, dado $\epsilon \gt 0$ existe un $\delta \gt 0$ tal que tenemos $$0<|u|<2\delta \Rightarrow \left|\frac{\sin u}{u}-1\right|<\epsilon. \qquad (*)$$ . Ahora , dado $\epsilon \gt 0$ Elige $\delta$ tal que $(*)$ retenciones.

Ahora dejemos que $$0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$$ . Entonces $$|x+y|\leq|x|+|y|\leq\sqrt{|x|^2+|y|^2}+\sqrt{|x|^2+|y|^2}=2\sqrt{x^2+y^2}<2\delta.$$

por $(*) (for x+y\ne 0)$ y por la definición de $f $ tenemos $|f(x,y)−1|<ϵ$ según sea necesario.