Este es un problema común con la notación de Leibniz; la gente a menudo trata la " $dx$ " como algo que puede moverse como si fuera una variable, y $\frac{dy}{dx}$ como una fracción, en lugar de como un símbolo que denota una cantidad singular. El otro problema que me plantea es el uso (posiblemente) prematuro de $\int f(x)\,dx$ para denotar antiderivadas (es decir. indefinido integrales) antes que la noción de $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ se introduce como el límite de las sumas de Riemann (es decir, la definitivo integral). Estas notaciones similares se utilizan para denotar ideas aparentemente dispares en cálculo que sólo se reconcilian verdaderamente a través del Teorema o Teoremas Fundamentales del Cálculo. Dicho esto, no me sorprende que estés un poco confuso. Intentaré aclarar un poco más las cosas...
Derivados:
En primer lugar, empecemos por la derivada. Se suele denominar "tasa de cambio instantánea", lo cual es un completo oxímoron. En realidad, es el límite de la tasa de variación media, tomada a lo largo de intervalos de "tiempo" (o posición, etc.) cada vez más reducidos. derivada de la función $f$ al valor $a$ es el límite $$ f'(a) := \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}, $$ y se anota $f'(a)$ por comodidad. Dado que la función $f$ depende de una variable (aquí llamamos a esa variable $x$ ), entonces la notación de Leibniz para la derivada en $x=a$ se escribe $$ \frac{df}{dx}(a). $$ El " $df$ "es indicar al lector que la función derivada es $f$ ; mientras que el " $dx$ La parte "es para recordarnos con respecto a qué variable se está tomando la derivada -- en este caso $x$ . El " $(a)$ la parte "te está diciendo que la derivada se está tomando en el número real $a$ en el dominio de $f$ .
Dado que la derivada puede (normalmente) tomarse en muchos valores diferentes del dominio, extendemos de forma natural la idea de la derivada en un punto a la noción de derivada en función de . Esto da lugar a la notación $$ f'(x) \quad \text{or} \quad \frac{df}{dx} $$ que se utiliza para representar una nueva función cuya valor en $x$ viene dada por la derivada de $f$ en el punto $x$ De este modo, derivamos (en el sentido anglosajón de la palabra) una función completamente nueva a partir de la antigua.
También puede ver ocasionalmente la noción de "operador", que suele tener el aspecto siguiente $\frac{d}{dx}(f)$ . De nuevo, " $d$ " y " $dx$ " no deben considerarse piezas separadas de una fracción, sino que $\frac{d}{dx}$ es una operación (parecida a elevar al cuadrado o a la raíz cuadrada) que se realiza en una función. De este modo, veríamos ecuaciones escritas como $$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x. $$
Nota: La notación común de $\frac{dy}{dx}$ tampoco es nada especial. Significa lo mismo que $\frac{df}{dx}$ pero con la confusión añadida de identificar el $y$ variable del plano de coordenadas con la función $f(x)$ a través del gráfico $y = f(x)$ . Prefiero dejar $y$ a menos que estemos graficando algo explícitamente.
Antiderivados:
La notación de $$ \int f(x)\,dx $$ es un poco incómodo, especialmente cuando aún no se dispone de las conexiones entre definitivo y indefinido integrales. Debes interpretar estos símbolos como una nueva función (de forma muy parecida a como lo hace $\frac{df}{dx}$ sí) definida en términos de $x$ con la siguiente propiedad: $$ F(x) = \int f(x)\,dx \iff F'(x) = f(x). $$ Es decir, si se toma la derivada de $F(x)$ en función de se recupera la función original $f(x)$ . De ahí el nombre más apropiado de "antiderivada".
Una curiosa propiedad de las antiderivadas es que son no único, a diferencia de los derivados. Esto se debe a que si $F'(x) = f(x)$ entonces $\frac{d}{dx}(F(x)+C) = f(x)$ para cualquier constante $C$ .
De nuevo, el " $dx$ "de la antiderivada no es realmente una "parte". Simplemente está ahí para indicar al lector qué variable se está "antiderivando". La parte alargada "S" no tiene cabida en nuestra discusión antes de que hayamos cubierto la conexión entre integrales definidas (también conocidas como áreas bajo las gráficas de funciones) e integrales indefinidas (también conocidas como antiderivadas). Lamentablemente, es el símbolo convencional, por lo que tendremos que utilizarlo queramos o no.
Regla de la cadena:
Cuando tenga un composición de funciones (una función metida dentro de otra) se necesita la función regla de la cadena para evaluar las derivadas. Notablemente decimos escribir $$ h(x) = (f\circ g)(x), \quad \text{if }\, h(x) = f(g(x)). $$ Esta regla en cadena nos dice entonces \begin{align} h'(x) &= (f'\circ g)(x) \cdot g'(x) \\ &= f'(g(x))\cdot g'(x). \end{align} En otras palabras: si $h$ es la composición de $f$ y $g$ entonces la derivada de $h$ es la derivada de $f$ compuesto por $g$ y se multiplica por la derivada de $g$ .
Un ejemplo rápido de la regla de la cadena se puede demostrar utilizando nada más que la "regla de la potencia" de la diferenciación de polinomios:
\begin{align} \frac{d}{dx}(x^6) &= \frac{d}{dx}((x^2)^3)\\ &= \frac{d}{dx}(f(g(x))), \quad \text{where $f(x) = x^3$ and $g(x) = x^2$}\\ &= 3(x^2)^2\cdot(2x), \quad \text{where $f'(x) = 3x^2$ and $g'(x) = 2x$}\\ &= (3\cdot2)x^4\cdot x \\ &= 6 x^5. \end{align}
En notación de Leibniz se escribiría como $$ \frac{dh}{dx} = \frac{d(f\circ g)}{dx} = \frac{df}{dx}(g(x))\cdot \frac{dg}{dx}(x), $$ donde hay que tener cuidado de indicar que la derivada de $f$ se evalúa en el número $g(x)$ y NO el número $x$ . Recuerda, $$ \frac{df}{dx}(g(x))\cdot \frac{dg}{dx}(x) \neq \frac{df}{dx} \cdot \frac{dg}{dx}. $$
Dado que, en una composición de funciones, toda la función de $g$ es sustituir cada instancia de la variable $x$ en la función $f$ no es infrecuente "abusar de la notación" y escribir simplemente $f(g)$ donde se entiende implícitamente que, puesto que $g$ es función de $x$ entonces la composición debe ser una función de $x$ también. De este modo, también se puede abusar de la notación de Leibniz, escribiendo $$ \frac{d(f\circ g)}{dx} = \frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}, $$ donde $\frac{df}{dg}$ se entiende como "tomar la derivada de $f$ como si fuera una función de una variable llamada $g$ ". Ahora debería quedar claro por qué esta sugerente notación "fraccionaria" ha prevalecido durante tanto tiempo: es como si el $dg$ se "cancelan" mediante multiplicación, dejando sólo el $\frac{df}{dx}$ . De nuevo, esto no es lo que ocurre en realidad, pero es la razón por la que la notación es como es.
$u$ -Sustitución:
$u$ -la sustitución no es más que la inversa de la regla de la cadena, del mismo modo que las antiderivadas son la inversa de las derivadas. Utilizando la notación "integral" convencional para las antiderivadas, basta con consultar la sección anterior para ver cómo invertir la regla de la cadena: $$ \int (f\circ g)'(x) \,dx = (f\circ g)(x) + C. $$
La idea clave al utilizar $u$ -sustituir para integrar (es decir, antidiferenciar) es aislar una parte de la función (la " $u$ " parte) que:
- está "dentro" de una función independiente (como $f(u(x))$ )
- cuya derivada se multiplica por la función "exterior" ( $\cdot u'(x)$ )
No es más que llamar $g$ de la regla de la cadena con un nombre diferente, $u$ : $$ \int \big( f'(u(x))\cdot u'(x) \big) \,dx = f(u(x)) + C. $$ La idea de sustituir " $dx$ " con " $du$ " es de nuevo sólo un abuso de notación .
Pensando en la composición $f(u(x))$ como $f(u)$ -- es decir, sólo tratar $f$ como función de una variable denominada $u$ en lugar de una variable denominada $x$ -- podemos abusar de la notación de Leibniz para escribir la ecuación anterior como $$ \int \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} \,dx = f(u(x)) + C,\tag{*} $$ donde de nuevo $\frac{df}{du}$ se interpreta como la derivada de $f$ tratado en función de $u$ . Pero tenga en cuenta que si $f$ eran simplemente una función de una variable llamada $u$ (y no hubo mención alguna a $x$ ') entonces tendríamos $$ \int \frac{df}{du} \,du = f(u) + C. $$ Y así, una vez más, tenemos la tentación de abusar aún más de la notación en (*) "cancelando" la " $dx$ " en la derivada (pensándolo como una fracción) con el " $dx$ " en la integral (signifique eso lo que signifique) para "dejar atrás" la " $du$ " parte.
A primera vista, esto es absurdo: estamos separando cosas que nunca estuvieron disjuntas en primer lugar, y cancelando símbolos impar como si fueran números ordinarios. Sin embargo, como mnemotecnia, la notación de Leibniz ofrece una forma bastante concisa de recordando ( sin explicar ) cómo funcionan estas fórmulas.
