En $L$ que tienen una forma real implican que $L_{\mathbb C}\simeq L\oplus L$ ?

Question

Supongamos que nos dan un álgebra de Lie compleja $L$ tener una forma real. Es decir, existe un álgebra de Lie real $g$ que tiene una complejificación $g_\mathbb{C}\cong L$ .

He visto varios ejemplos en los que se cumple lo siguiente, pero es $L_\mathbb{C}\cong L\oplus L$ ¿siempre es cierto en esta situación?

Answer 1

Para mayor claridad, denoto por $Res_{\mathbb C\vert \mathbb R}A$ la restricción escalar de un álgebra de Lie compleja $A$ à $\mathbb R$ es decir $A$ vista como álgebra de Lie real.

Si $L \simeq g \otimes_{\mathbb R} \mathbb C$ entonces hay isomorfismos $$ (Res_{\mathbb C\vert \mathbb R}L) \otimes_{\mathbb R} \mathbb C \simeq Res_{\mathbb C\vert \mathbb R} (g \otimes_{\mathbb R} \mathbb C) \otimes_{\mathbb R} \mathbb C \simeq g \otimes_{\mathbb R} (\mathbb C \otimes_{\mathbb R} \mathbb C) \stackrel{!}\simeq g \otimes_{\mathbb R} (\mathbb C \oplus\mathbb C) \simeq (g \otimes_{\mathbb R} \mathbb C) \oplus (g \otimes_{\mathbb R} \mathbb C) \simeq L \oplus L$$

de $\mathbb C$ -Lie álgebras (escalares complejos siempre actuando a la derecha aquí). El paso crucial utiliza

$$\mathbb C \otimes_{\mathbb R} \mathbb C \stackrel{!}\simeq \mathbb C \oplus\mathbb C$$

como $(\mathbb R, \mathbb C)$ -módulos.

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Obsérvese que, en general, para una extensión de campo $E \vert K$ de grado $n$ y un $E$ -Lie álgebra $L$ se tiene un mapa obvio

$$ (Res_{E\vert K}L) \otimes_{K} E \simeq (Res_{E\vert K} L) \otimes_{K} K^n \simeq \underbrace{(Res_{E\vert K}L) \oplus \dots \oplus (Res_{E\vert K}L)}_{n}$$

pero sólo como $K$ -Lie, ya que tales mapas (dados simplemente eligiendo un $K$ -base de $E$ ) no son $E$ -lineales salvo en casos triviales, y son diferentes del mapa anterior.

En cuanto a un contraejemplo concreto en el caso $L$ no tiene forma real, no lo sé, pero sospecho que ya los casos más fáciles de tales álgebras de Lie (que serían resolubles tridimensionalmente) darían contraejemplos.