$C^n(G,A)$ con $G$ un grupo profinito y $A$ un discreto $G$ -módulo como límite directo

Question

Sea $C^n(G,A)$ sea el conjunto de funciones continuas $G^n \rightarrow A$ con $G$ un grupo profinito y $A$ un discreto $G$ -módulo (estas son las funciones que son localmente constantes). Quiero demostrar que $C^n(G,A) = \varinjlim C^n(G/U,A^U)$ donde $U$ recorre todos los subgrupos normales abiertos de $G$ y $A^U$ es el submódulo fijado por $U$ .

Creo que el sistema directo que hay que utilizar es el siguiente: let $U \subset V$ sean 2 subgrupos normales abiertos de $G$ . Entonces tenemos una proyección canónica $p_{UV}:G/U \rightarrow G/V$ que es claramente continua ya que ambos lados tienen la topología discreta. También tenemos una inclusión canónica $i_{UV}:A^V \rightarrow A^U$ que vuelve a ser continua debido a la topología discreta de ambos lados. Así que podemos hacer una función $\rho_{VU}:C^n(G/V,A^V) \rightarrow C^n(G/U,A^U)$ definido por $\rho_{VU}(\phi)=i_{UV}\phi p_{UV}$ .

Ahora, yo estaba tratando de hacer un isomorfismo de $C^n(G,A)$ à $\varinjlim C^n(G/U,A^U)$ pero no veo cómo hacerlo. Debo admitir que no soy muy bueno con los límites en las categorías.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Esto parece que puede dar trabajo.

En primer lugar, no sólo tenemos mapas $C^n(G/V,A^V) \to C^n(G/U,A^U)$ también tienes mapas $C^n(G/V,A^V) \to C^n(G,A)$ y mapas canónicos $C^n(G/V,A^V) \to \varinjlim C^n(G/V,A^V)$ .

Juntándolo todo se obtiene un diagrama como este:

donde $\Psi$ es inducida por la propiedad universal, y todo conmuta. Su tarea ahora es demostrar que $\Psi$ es un isomorfismo. Desgraciadamente, ¡no me parece una tarea fácil! Parece que hay que pasar por toda la verificación de que $\Psi$ es a la vez inyectiva y suryectiva.

Como parece un poco trabajoso, ofrezco una alternativa. Si tienes acceso institucional a SpringerLink deberías poder ver (al menos yo puedo) el libro 'Profinite Groups' de Ribes y Zalesskii. El teorema 5.1.4(a) es una prueba de un enunciado muy similar - en esencia parece que seguir sus pasos debería funcionar aquí (con las modificaciones adecuadas).