Cómo interpretar la cotangente del paquete de un complejo colector?

Question

Deje $X$ ser un complejo colector. No estoy seguro de lo que la gente quiere decir cuando se habla de la cotangente del paquete de $T^*X$$X$. Tengo dos interpretaciones:

1. En cada punto $x\in X$, $T_x^*X$ es el complejo espacio vectorial dual para el complejo espacio vectorial $T_xX$, es decir, $T_x^*X$ es el espacio de todo el complejo-lineal mapas de $T_xX\to\Bbb C$.
2. En cada punto $x\in X$, $T_x^*X$ es el espacio dual del espacio vectorial real $T_xX$, es decir, el espacio de todos los real-lineal mapas de $T_xX\to\Bbb R$.

Cuál es la correcta interpretación?

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Pensamiento: Fui el primero en pensar que existe un isomorfismo natural entre los dos, pero no parece ser así. Si yo trato de conseguir un verdadero isomorfismo $$(T_xX)_{\Bbb R}^*\to (T_xX)^*_{\Bbb C},$$ donde el primer espacio es el real-lineal mapas de $T_xX\to\Bbb R$ y el segundo son el complejo lineal mapas de $T_xX\to\Bbb C$ (pero visto como un verdadero espacio vectorial), entonces el isomorfismo es siempre dependiente de la base.

Tenga en cuenta que $$\dim_{\Bbb R}(T_xX)^*_{\Bbb R}=\dim_{\Bbb R} T_xX=2\dim_{\Bbb C}T_xX=2\dim_{\Bbb C}(T_xX)^*_{\Bbb C}=\dim_{\Bbb R}(T_xX)^*_{\Bbb C},$$ así que los dos espacios de hecho son isomorfos. Aunque no puedo encontrar una base independiente de isomorfismo.

Answer 1

Si $V$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$, existe un natural $\mathbb{R}$-isomorfismo $\varphi\colon V_{\mathbb{R}}^*\to V_{\mathbb{C}}^*$ definido por $$ \varphi(f)(v) \,=\, f(v) + i\,f(-iv). $$ para$f\in V_{\mathbb{R}}^*$$v\in V$, con inverse $\varphi^{-1}\colon V_{\mathbb{C}}^*\to V_{\mathbb{R}}^*$ definido por $$ \varphi^{-1}(g)(v) \,=\, \mathrm{Re}\bigl(g(v)\bigr). $$ Tenga en cuenta que si $f\colon V \to \mathbb{R}$ $\mathbb{R}$- lineal, $\varphi(f)$ es, de hecho, $\mathbb{C}$- lineal, ya que $$ \varphi(f)(iv) \,=\, f(iv) + i f(v) \,=\, si(v) - f (a-iv) \,=\, i\bigl(f(v) + si (iv)\bigr) \,=\, i\,\varphi(f)(v) $$ para cualquier $v\in V$.