Caracterización del mapa de transferencia en teoría de grupos

Question

Sea $i : H \to G$ sea un subgrupo de índice finito. El mapa de transferencias es un homomorfismo especial $V(i) : G^\mathrm{ab} \to H^\mathrm{ab}$ . La definición ad hoc habitual utiliza un conjunto de representantes de $H$ en $G$ y luego hay que comprobar que es independiente de esta elección y que es un homomorfismo en absoluto. Creo que esta definición no es nada esclarecedora (aunque, por supuesto, es útil para cálculos explícitos). Una mejor utiliza la homología de grupo. A saber, para un $G$ -módulo $A$ se produce una transformación natural $A_G \to \mathrm{res}^{G}_{H} A_H$ , $[a] \mapsto \sum_{Hg \in H/G} [ga]$ que se extiende a una transformación natural $H_\*(G;A) \to H_\*(H;\mathrm{res}^{G}_{H} A)$ (normalmente denominada corestricción o transferencia). Ahora evalúe en $A = \mathbb{Z}$ y $* = 1$ para obtener $G^\mathrm{ab} \to H^\mathrm{ab}$ . Uno puede entonces calcular este mapa usando los isomorfismos explícitos y las equivalencias de homotopía implicadas; pero ahora sabe por la teoría general que es un homomorfismo bien definido.

También se deduce directamente que la transferencia es en realidad un functor $V : \mathrm{Grp}_{mf} \to \mathrm{Ab}^{\mathrm{op}}$ con función de objeto $G \mapsto G^{\mathrm{ab}}$ donde $\mathrm{Grp}_{mf}$ es la categoría cuyos objetos son grupos y cuyos morfismos son monomorfismos de índice finito.

Me gustaría saber si existe una definición aún más "abstracta". Para ser más preciso: ¿Existe una caracterización categórica del functor $V$ que sólo utiliza la adjunción $\mathrm{Grp} {\longleftarrow \atop \longrightarrow} \mathrm{Ab}$ ?

Edición: Hasta ahora hay muchas respuestas interesantes que dan, de hecho, definiciones muy "esclarecedoras" de la transferencia. Pero también me gustaría saber si hay una categórica pura, como la dada por Ralph.

Edición: Una nota muy interesante de Daniel Ferrand es Nota sobre la transferencia . Allí se demuestra una afirmación más general (incluso en un entorno de topos): Sea $G$ actuar libremente sobre un conjunto $X$ tal que $X/G$ es finito con al menos dos elementos. Entonces existe un isomorfismo de grupos abelianos $(\mathrm{Ver},\mathrm{sgn}) : {\mathrm{Aut}_{G}(X)}^{\mathrm{ab}} \cong G^{\mathrm{ab}} \times \mathbb{Z}/2$ . Es natural con respecto a $G$ -isomorfismos. También en este caso me gustaría preguntar si es posible caracterizar este isomorfismo por sus propiedades (en lugar de escribirlo mediante elecciones, cuya independencia hay que demostrar después).

La proposición 7.1. de este trabajo incluye la interpretación mediante determinantes mencionada por Geoff en su respuesta, en realidad algo más general: Para abelian w.l.o.g. $G$ existe un diagrama conmutativo

$\begin{matrix} {\mathrm{Aut}_{G}(X)}^{\mathrm{ab}} & \cong & \mathrm{Aut}_{\mathbb{Z}G}{\mathbb{Z}X}^{\mathrm{ab}} \\\\ \downarrow & & \downarrow \\\\ G \times \mathbb{Z}/2 & \rightarrow & (\mathbb{Z} G)^{x} \end{matrix} $

Por lo tanto, podemos pensar en la transferencia y la firma como la incrustación de las unidades estándar en el anillo de grupo.

Answer 1

No es realmente categórico, así que esto es quizá más un comentario que una respuesta, pero la forma que encuentro más fácil de ver que la transferencia da realmente un homomorfismo (independiente de la elección de los representantes del coset, pero no me queda claro que esta cuestión sea mucho más fácil desde este punto de vista) es desde un punto de vista que puede deberse a T. Yoshida, que escribió algunos artículos sobre "transferencia teórica de caracteres" en los años 70. Dado que $[G:H]$ es finito, consideremos un homomorfismo de grupo $\phi: H \to A$ donde $A$ es un grupo abeliano. Sea $R$ sea el anillo de grupo ${\rm GF}(2)[A].$ Considere $\phi$ como rango $1$ -representación de $H$ en $R$ . Inducir que a una representación de $G \to {\rm GL}_d(R),$ donde $d = [G:H]$ y tomar el determinante de esa representación inducida. En el caso de que $A = H/H^{\prime}$ obtenemos (implícitamente) el homomorfismo $V_G: G^{ab} \to H^{ab}.$ .

Answer 2

Mi respuesta tampoco es categórica, pero es demasiado larga para un comentario y creo que arroja luz sobre la naturaleza de la transferencia.

Creo que la transferencia es realmente un hecho sobre la cobertura de espacios. Sea $\pi : X \rightarrow Y$ ser un grado $n$ mapa de cobertura. Si $\sigma : \Delta^k \rightarrow Y$ es un singular $k$ -simplex on $Y$ entonces la teoría del espacio de cobertura proporciona $n$ diferentes ascensores $\tilde{\sigma}_1,\ldots,\tilde{\sigma}_n : \Delta^k \rightarrow X$ de $\sigma$ . Defina $\tau_k(\sigma)$ para ser el singular $k$ -cadena $\tilde{\sigma}_1 + \cdots+ \tilde{\sigma}_n$ en $X$ . Esto se extiende por linealidad a un mapa $\tau_k : C_k(Y;R) \rightarrow C_k(X;R)$ donde $R$ es cualquier anillo conmutativo y $C_{\ast}(\cdot,R)$ es el grupo abeliano de símplices singulares con coeficientes en $R$ . Es evidente que el $\tau_k$ se combinan para formar un mapa en cadena $\tau : C_{\ast}(Y;R) \rightarrow C_{\ast}(X;R)$ que satisfaga $$\pi_{\ast}(\tau(x)) = n \cdot x,$$ donde $\pi_{\ast} : C_{\ast}(X;R) \rightarrow C_{\ast}(Y;R)$ es el mapa sobre cadenas singulares inducido por $\pi$ . El mapa de transferencia $H_{\ast}(Y;R) \rightarrow H_{\ast}(X;R)$ es el mapa sobre la homología inducido por $\tau$ .

Para recuperar la transferencia clásica, dejemos que $Y$ ser un $K(G,1)$ y $X$ sea la cubierta correspondiente a $H$ .

Answer 3

He aquí otra respuesta. De hecho, es equivalente a todas las respuestas anteriores, pero es más categórica. Sea $X$ sea un finito transitivo $G$ -set y let $\mathcal G=G\ltimes X$ sea la construcción de Grothendieck correspondiente. Por tanto, es el grupoide con objetos $X$ y flechas $(g,x):x\to gx$ . El producto es $(g,hx)(h,x)=(gh,x)$ . Es el análogo grupoide del espacio de cobertura de $BG$ asociado al $G$ -set $X$ .

Ahora bien $H$ es un grupo isótropo, entonces $\mathcal G$ es equivalente a $H$ pero la elección de la equivalencia no es única. Ésta es la queja de Martin. Pero como cualesquiera dos funtores naturalmente equivalentes de un grupoide a un grupo abeliano son iguales, hay un funtor CANÓNICO $\tau\colon \mathcal G\to H^{ab}$ que no es más que el functor universal de $\mathcal G$ a un grupo abeliano.

La transferencia es el mapa $$g\mapsto \sum_{x\in X}\tau(g,x).$$

Answer 4

Edita: Como ha señalado Martin, hay una laguna en la prueba a continuación. Se puede cerrar sustituyendo el axioma 1 por 1'. Sin embargo, esto no es muy satisfactorio, ya que disminuye el flauvor categorial de la caracterización. Tal vez habría que investigar más a fondo, si el axioma 1 no se podría utilizar de todos modos.

$\hspace{5pt}$ 1'. Si $G=\langle H,x \rangle, n=(G:H)$ y $h \in \cap_{i=0}^{n-1}x^iHx^{-i}$ entonces $t^G_H(h[G,G])$ se representa $\hspace{10pt}$ $\hspace{12pt}$ por $(hx)^nx^{-n}$ .

Además, el axioma 3 debería ser

$\hspace{5pt}$ 3. Si $f: G \to G'$ es un homomorfismo, $H' \le G, H = f^{-1}(H')$ y $(G:H) = (G':H'),$ $\hspace{5pt}$ $\hspace{12pt}$ entonces el diagrama conmuta.

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Por lo que veo, todas las respuestas anteriores se refieren a una construcción explícita de la transferencia. Aquí iré en la otra dirección y caracterizaré la transferencia por sus propiedades. Sea $V$ denotan la transferencia habitual.

Supongamos que para cada par $H \le G$ con $(G:H) < \infty$ existe un homomorfismo $t^G_H: G_{ab} \to H_{ab}$ que satisfaga las propiedades subsiguientes. Entonces $t^G_H = V^G_H$ .

1. La composición $G_{ab}\hspace{1pt} \xrightarrow{ t } \hspace{1pt} H_{ab} \hspace{1pt} \xrightarrow{\bar{i}} \hspace{1pt} G_{ab}$ es la multiplicación por $(G:H)$ .

2. Si $H \le K \le G$ entonces $t^K_H \circ t^G_K = t^G_H$

3. Si $(G:H) = (G':H')$ y $f: G \to G'$ es un homomorfismo con $f(H) \le H'$ entonces el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{array}{ccc} G_{ab} & \xrightarrow{\bar{f}} & G_{ab}' \newline t \downarrow & & \downarrow t' \newline H_{ab} & \xrightarrow[\bar{f}]{} & H_{ab}' \end{array}$$

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Prueba: a) Es bien sabido que $V$ satisface $1.-3.$ .

b) Por 1., $t^G_H$ y $V^G_H$ ponerse de acuerdo $\bar{x}$ para $x \in H$ .

c) Supongamos $G = \langle H, x \rangle$ y $(G:H) = n$ . Sea $f: \mathbb{Z} \to G, 1 \mapsto x$ . Por 1. tenemos $t: \mathbb{Z} \to n\mathbb{Z}, 1 \to n$ . Ahora 3. implica $t^G_H(\bar{x}) = \bar{x}^n = V^G_H(\bar{x})$ . En particular $t^G_G = id|G_{ab} = V^G_G$ .

d) Demostramos por inducción en $n=(G:H)$ que $t^G_H = V^G_H$ para todos $H \le G$ . El caso $n=1$ se muestra en c). Supongamos que $n>1$ y $t^G_H = V^G_H$ es válido para $H \le G$ con $(G:H) < n$ . Sea $x \in G$ . Si $G = \langle H, x \rangle$ entonces $t^G_H(\bar{x}) = V^G_H(\bar{x})$ por c). Por tanto, supongamos $K := \langle H, x \rangle$ es un subgrupo propio de $G$ . Debido a b) podemos suponer $x \notin H$ . Así $(G:K),(K:H) < n$ y concluimos de 2. y la hipótesis de inducción y a) que $t^G_H = V^G_H$ . q.e.d.

Answer 5

Una descripción alternativa en la línea de Geoff es la siguiente. Sea $T$ sea un conjunto de repeticiones de coset para $H$ . Luego se asocia a $T$ es una incrustación de Krasner-Kaloujnine $$G\hookrightarrow H^{G/H}\rtimes (G/H_G)$$ donde $H_G$ es la intersección de los conjugados de $H$ . Esta incrustación depende de $T$ sólo hasta un automorfismo interno de $H^{G/H}$ . La abelianización del producto semidirecto anterior es $H^{ab}\times (G/H_G)^{ab}$ y la restricción del mapa de abelianización a $G$ da lugar a un homomorfismo $$G\hookrightarrow H^{ab}\times (G/H_G)^{ab}\to H^{ab}$$ donde el último mapa es la proyección. Esto induce un homomorfismo $G^{ab}\to H^{ab}$ que es la transferencia. La independencia de $T$ sigue la independencia de la incrustación hasta el automorfismo interno.