Si una raíz de la ecuación $ax^2+bx+c=0$ sea el cuadrado de la otra.

Question

Si $a \neq 0$ y si una raíz de la ecuación $ax^2+bx+c=0$ es el cuadrado de la otra, demuéstralo: $$b^3+a^2c+ac^2=3abc.$$

Mi intento: Dado: $$ax^2 + bx + c=0$$ Sea $\alpha $ y $\beta $ sean las raíces de la ecuación. $$\alpha + \beta = \dfrac {-b}{a}$$ $$\alpha . \beta = \dfrac {c}{a}$$ De acuerdo con la pregunta: $$\alpha = \beta^2 $$

Answer 1

Así, tenemos $$\dfrac ca=\alpha\beta=\beta^3$$

$$-\dfrac ba=\alpha+\beta=\beta^2+\beta$$

Cubica ambos lados utilizando $$(p+q)^3=p^3+q^3+3pq(p+q)$$

Sustituya los valores de $\beta^3,\beta^2+\beta$

Answer 2

$$\alpha + \beta = \dfrac {-b}{a}$$ $$\alpha . \beta = \dfrac {c}{a}$$ Sustituir $$\alpha = \beta^2$$ en las ecuaciones anteriores,

$$a(\beta^2+\beta) = a\beta(\beta+1) = - b\tag{1}$$

$$a\beta^3 = c\tag{2}$$

Ecuación del cubo $(1)$ ,

$$a^3 \beta^3 (\beta^3 + 3 \beta^2 + 3 \beta + 1) = -b^3$$ Utilizando la ecuación $(2)$ , $$a^2 c (\beta^3 + 3 \beta^2 + 3 \beta + 1) = -b^3$$

$$a c (a\beta^3 + 3a\beta( \beta + 1) + a) = -b^3$$

Utilizando la ecuación $(1)$ y $(2)$ ,

$$a c (c - 3b + a) = -b^3$$

$$ac^2-3abc+a^2c=-b^3$$

$$b^3+ac^2+a^2c = 3abc$$

Answer 3

Alternativamente: $$\left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \Rightarrow$$ $$b^2-2ac+ab=(a-b)\sqrt{b^2-4ac} \Rightarrow$$ Elevar al cuadrado y dividir ambos lados por $4a$ demostrará la afirmación.