Considere $u,v\in \mathbb{R}^2$ donde $u=(2,1), v=(-1, 2)$ . $u$ y $v$ son ortogonales ya que $u\cdot v=0$ . Si los ponemos en $\mathbb{C}$ deberían seguir siendo ortogonales. Sin embargo, $ \langle u,v \rangle=(2+i)(-1-2i)\ne 0$ . Debo haber entendido algo mal. ¿Podría alguien explicármelo? Gracias de antemano.
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Cuando se especifica un espacio vectorial, siempre se especifican dos cosas: un conjunto y un campo. Si tomamos como conjunto los números complejos $ \mathbb{C} $ dos posibles opciones para nuestro campo son $ \mathbb{R} $ y $ \mathbb{C} $ . Así que podemos pensar en $ \mathbb{C} $ como un espacio vectorial con escalares reales o escalares complejos. La elección es importante a la hora de definir un producto interior, ya que un producto interior siempre mapea hacia el campo sobre el que se ha tomado el espacio vectorial.
Si elegimos escalares complejos, entonces un producto interior sobre $ \mathbb{C} $ es $ \langle z, w \rangle = z \overline{w} $ . Como bien señalas, $ \langle 2 + i, -1 + 2i \rangle \neq 0 $ . Así que $ 2 + i $ y $ -1 + 2i$ no son ortogonales en este espacio de producto interior. Esto no debería sorprender, porque como vectores son linealmente dependientes; tenemos $ 2 + i = -i(-1 + 2i) $ . Realmente necesitamos escalares complejos para que esto sea cierto; ningún número real $ \alpha $ satisface $ 2 + i = \alpha (-1 + 2i) $ .
Si elegimos escalares reales, entonces el mapa $ \langle z, w \rangle = z \overline{w} $ ya no es un producto interno en nuestro espacio vectorial, puesto que en general $ z \overline{w} $ no es un número real. Todavía se puede definir un producto interior $$ \langle z, w \rangle = \text{Re}(z) \text{Re}(w) + \text{Im}(z) \text{Im}(w). $$ Esto no es más que el producto punto sobre $ \mathbb{R}^2 $ disfrazado. Con este producto interior, se puede comprobar que $ \langle 2 + i, -1 + 2i \rangle = 0 $ es decir $ 2 + i $ y $ -1 + 2i $ son ortogonales.
Así que, aunque el conjunto con el que trabajábamos era el mismo en ambos casos, definimos dos espacios vectoriales y dos espacios de producto interno diferentes: la noción de ortogonalidad en cada uno de ellos no es la misma.
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Es cierto que $\mathbb R^2$ y $\mathbb C$ modelan el mismo objeto geométrico, pero no es cierto que el producto interior sobre $\mathbb R^2$ modelar la misma cantidad geométrica con el producto en $\mathbb C$ . Por un lado, el producto interior debe ser siempre real.
Geométricamente, el producto interior se refiere más bien a la diferencia de los ángulos, es decir. $\langle v, \rangle w = |v||w|\cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo entre $v$ y $w$ . El producto de números complejos consiste en la suma de los argumentos: $r_1e^{i\theta_1}r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ .
Para utilizar el producto de números complejos para resolver el problema, debemos utilizar la división en lugar de la multiplicación, porque la división $\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$ nos dice el ángulo entre ellos.
En tu caso, $\frac{2+i}{-1+2i}=\frac{(2+i)(-1+2i)}{5}=\frac{3i}{5}$ . Obsérvese que su parte real es $0$ por lo que el argumento es $90^\circ$ o $\frac{\pi}{2}$ .
Acccumulation
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Si los ponemos en $\mathbb C$
"Ponerlos en $\mathbb C$ "es una expresión bastante imprecisa. Podemos definir una biyección entre $\mathbb R^2$ y $\mathbb C$ pero eso no significa que sean el mismo objeto matemático, o que el número complejo que un elemento de $\mathbb R^2$ al que se envía es el "mismo" número. Sólo porque usemos un par de números reales para representar un número complejo no significa que un número complejo es un par de números reales. Sólo porque el "producto punto" en $\mathbb R$ y "multiplicación compleja" en $\mathbb C$ se denominan "multiplicación" no significa que sean la misma operación.
Obsérvese que si se calcula la parte real $(2+i)(12i) = -2-2i^2 = -2-2(-1)=-2+2$ obtienes cero. Si se toman dos vectores linealmente independientes en $\mathbb R$ y tomamos los números complejos representados por esos pares de números, la parte real de su producto interior será cero. Se puede pensar en la parte imaginaria del producto interno como una parte "extra" que aparece en el mundo complejo y que aún puede ser distinta de cero, incluso cuando el "producto interno real" es cero.
