¿un haz de líneas tiene siempre un grado

Question

Para las curvas existe una noción muy simple de grado de un haz de líneas o, de forma equivalente, de un divisor de Weil o Cartier. Incluso en cualquier espacio proyectivo $\mathbb P(V)$ divisores están recortados por hipersuperficies que son polinomios homogéneos de un determinado grado.

¿Existe una noción más general de grado que se aplique a los regímenes con menos estructura?

Además, digamos que usted tiene un esquema bastante agradable $X$ por lo que los haces de líneas corresponden a divisores de Cartier bajo equivalencia lineal. En cualquiera que sea la configuración más general para que el grado de un haz de líneas tenga sentido, ¿hay algún ejemplo de haz de líneas $L \ne O_X$ que es de grado 0 y tiene $h^0(L$ ) = 1?

Answer 1

Una generalización del grado es la primera clase de Chern: Un divisor de Cartier corresponde a una clase en $H^1(X;\mathcal{O}_X^{\times})$ y se toma su imagen bajo el mapa de frontera de la sucesión exacta larga correspondiente a la sucesión exacta exponencial $\mathbb{Z} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X^{\times}$ donde el segundo mapa está tomando exponencial (si quieres trabajar en la categoría algebraica, hay un arreglo para esto, usando la secuencia exacta $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathcal{O}_X^{\times} \to \mathcal{O}_X^{\times}$ donde el segundo mapa es la enésima potencia).

Geométricamente, en una cosa lisa, esto significa que se toma la suma de todos los divisores de Weil como clase de homología, y luego se toma la clase dual de Poincare en $H^2(X;\mathbb{Z})$ .

Answer 2

Tengo una respuesta tonta a tu segunda pregunta. Tomemos una unión disjunta de una curva elíptica con cualquier otra curva, y establezcamos que L es un haz de grado 0 no trivial en la curva elíptica y trivial en la otra curva.