Una solución especial de la ecuación diferencial de Hermite

Question

Sé que la solución de forma general de la ecuación diferencial de Hermite $$ y''-2xy'+2\lambda y=0$$ es $$y(x)=a_1 M(-\frac{\lambda}{2},\frac{1}{2},x^2)+a_2 H(\lambda,x),$$ donde $M(\cdot,\cdot,\cdot)$ es una función hipergeométrica confluente de primer tipo, y $H(\cdot,\cdot)$ es un polinomio de Hermite.

Para un valor general de $\lambda$ (de valor real negativo y no entero), ¿existe una solución especial de la ecuación diferencial de Hermite tal que su derivada de primer orden sea cero para $x\rightarrow-\infty$ ? En otras palabras, ¿existe una caracterización paramétrica de $a_2$ en función de $a_1$ y $\lambda$ tal que $y'(x)\rightarrow 0$ como $x\rightarrow-\infty$ ?

Según los cálculos numéricos de Mathematica, parece que existe un caso especial. Sin embargo, no he podido caracterizarlo explícitamente. Agradecería cualquier ayuda al respecto. Gracias.

Answer 1

$$y(x)=a_1 M(-\frac{\lambda}{2},\frac{1}{2},x^2)+a_2 H(\lambda,x)\Rightarrow$$ $$y'(x)=-2a_1\lambda x M(1-\tfrac{1}{2}{\lambda},\tfrac{3}{2},x^2)+2 {a_2} {\lambda} H({\lambda}-1,x)$$ La asintótica para $x\rightarrow-\infty$ y $\lambda$ no entero negativo es $$y'(x)\rightarrow\frac{2 e^{x^2}(-x)^{-\lambda} }{\sqrt{\pi }\, \Gamma \left(-\lambda/2\right)}\bigl(a_2 \Gamma \left(-\lambda/2\right) \Gamma (\lambda+1)\sin \pi \lambda -\pi a_1\bigr).$$ Esto desaparece si $$a_2 \Gamma \left(-\lambda/2\right) \Gamma (\lambda+1)\sin \pi \lambda =\pi a_1.$$