Propiedades de $S_2$ y el plano y $[−1,1]^2$

Question

La cuestión:

1. ¿Es la esfera $S_2$ ¿isométrico / difeomorfo / homeomorfo al plano?
2. ¿Es la esfera $S_2$ ¿menos un punto isométrico / difeomorfo / homeomorfo al plano?
3. ¿Es la esfera $S_2$ isométrico / difeomórfico / homeomórfico a $[1,1]^2$ ?
4. ¿Es la esfera $S_2$ menos un punto isométrico / difeomorfo / homeomorfo a $[1,1]^2$ ?
5. ¿Hay alguna propiedad al plano y la $[1,1]^2$ que los harían más discriminables (como las propiedades que dependen del diámetro finito del $[1,1]^2$ )?

Primero publiqué esta pregunta por error en MathOverflow ; de ese hilo me gustaría añadir:

• No estaba seguro del término "isomorfismo" en el ámbito de los manifolds. Aparentemente no existe tal cosa; yo pensaba que sería cualquier tipo de biyección entre dos variedades (es decir, "difeomorfismo" menos diferenciabilidad). -- ¿Es correcto?

• Del hilo original obtuve las siguientes respuestas -- ¿son correctas?:

  1. No, no, no.
  2. No, sí, sí.
  3. No, no, no.
  4. No, no, no.

• Entonces, ¿por qué la esfera no es difeomorfa a $[-1,1]^2$ ? ¿Qué pasa con las simples transformaciones polares coodinadas que son el mapeo de $[0, 2\pi] \times [-\pi, \pi]$ ?

Answer 1

• El término "isomorfismo" en la teoría de los manifolds depende del tipo de kmanifold con el que se esté tratando. Si se trata de variedades topológicas, los "isomorfismos" son homeomorfismos. Si son variedades lisas, los "isomorfismos" son difeomorfismos, y así sucesivamente. Para cada categoría de variedades y mapas existe una noción adecuada de isomorfismo.

• Sí, sus respuestas son correctas. Observación: Si dos variedades son isométricas o no, no es una cuestión bien definida a menos que especifiques sus métricas. Aquí he supuesto que las variedades planas tienen su métrica euclídea y que la métrica de la esfera se induce a partir de su incrustación como esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ .

• Las coordenadas polares no tienen una correspondencia unívoca con los puntos de la esfera. Son singulares en los polos inducidos. De hecho, no existe ninguna carta única que cubra toda la esfera. La forma más fácil de decir que la esfera y el cuadrado unitario no son difeomorfos (ni siquiera homeomorfos) es que sus (co)homologías no coinciden en dimensión 2.