Determinante y medida

Question

El determinante de la matriz de sus vectores da la medida de un $n$ -paralelogramo.

Por ejemplo, en $2$ dimensiones, el área abarcada por los vectores $v$ y $w$ es \begin{array}{|cc|} v_1 & w_1 \\ v_2 & w_2 \\ \end{array} y así sucesivamente para un $3$ o más -dimensional paralelogramo.

¿Cómo es posible visualizarlo o entenderlo intuitivamente?

Answer 1

Puedes ver el determinante cuando cambias las variables de integración en dos o tres dimensiones. El determinante puede verse como el jacobiano de la transformación

$$ (x,y) \mapsto (v_1x+v_2y,w_1x+w_2y)$$

y esto mapea el cuadrado unitario en el paralelogramo abarcado por $(v_1,v_2)$ y $(w_1,w_2)$ . El cuadrado unitario tiene área 1 y por tanto el determinante equilibra la ecuación.