¿Puede ayudarme a aclarar mi interpretación del Aleph Null y su relación de Power Sets con el Continuum de base dos [0,1]?

Question

Necesito ayuda para entender esto con la notación adecuada porque me han dicho que no estoy usando la notación correctamente y no he entendido este concepto correctamente.

Pensaba que todo el mundo "sabía" que cuando se forma el Conjunto Potencia a partir de un Conjunto Infinito que era contable el Conjunto Infinito original tenía una Cardinalidad de Aleph Nulo y el Conjunto Potencia tenía una Correspondencia Uno a Uno con el intervalo Continuo de base dos [0,1] (por lo que tenía la Cardinalidad del intervalo de base dos del número de puntos en el intervalo [0, 1] o 2^(Aleph Null) para la cardinalidad del Continuo) porque la elección binaria de que un elemento específico en el Conjunto Infinito contable en cualquier subconjunto era un 1 si el elemento estaba incluido en su "decimal" relacionado o dígito binario a la derecha del "decimal" o punto binario y un 0 si no estaba incluido, así que si tienes CADA posible subconjunto de un conjunto infinito contable había un uno a uno con CADA posible representación de base dos de un punto en el continuo de base dos [0,1] y así el continuo binario de base dos tenía un uno a uno con el conjunto potencia de cualquier conjunto infinito contable.

Pregunta: Entonces, ¿cómo es esa interpretación? ¿Es correcta? ¿Puede mejorarse? ¿Es bien conocida o no? También necesito entender la terminología y aprendí primero contable y uno a uno pero leí sobre denumerable y biyección así que ¿cuál es la terminología preferida? Según tengo entendido, Cantor utilizó esta propiedad de base dos y conjuntos de potencias para definir la Hipótesis del Continuo, ¿es correcto?

Answer 1

El conjunto de potencias de $\aleph_0$ tiene efectivamente la misma cardinalidad que el llamado continuación $\mathfrak{c}=\|[0,1]|$ y ambos pueden verse como el conjunto de todas las secuencias contablemente infinitas de $0$ y $1$ denotado por $\{0,1\}^{\Bbb N}$ .

El hecho de que el conjunto de potencias tenga el mismo tamaño que $\{0,1\}^{\Bbb N}$ es el argumento de que cualquier subconjunto $A$ de $\Bbb N$ (como un conjunto de tamaño $\aleph_0$ ) está determinada unívocamente por su fucnión característica (que mapea $n$ a $1$ si $n \in A$ y a $0$ en caso contrario), y esa función es precisamente una secuencia binaria de este tipo.

Dada una secuencia binaria podemos formar una base- $2$ número real en $[0,1]$ (poner un $0.$ antes de la secuencia) y esto da una suryección, no una biyección, ya que (¡contablemente!) muchos reales tienen dos formas de representarlos como tales expansiones binarias. Pero con algunos argumentos adicionales esto se puede arreglar, y podemos ver que, efectivamente, las secuencias (por lo que el conjunto de potencias) tiene exactamente la misma cardinalidad que $[0,1]$ (o $(0,1)$ o $\Bbb R$ etc.). Algunos Schröder-Bernstein va un largo camino ..

Esto es bien conocido y clásico.

Denumerable y contable son sinónimos, a veces denumerable sólo se utiliza para conjuntos infinitos y contable incluye todos los conjuntos finitos también. Básicamente, un conjunto que tiene una biyección con (un subconjunto de) $\Bbb N$ .

Cantor no consideró realmente argumentos de base 2 en absoluto, sino que sólo se preguntó si existe alguna cardinalidad distinta entre $\aleph_0$ y $\mathfrak{c}=2^{\aleph_0}$ . Definió $\aleph_1$ (el primer cardinal incontable) y sabía (argumento diagonal) que $2^{\aleph_0}$ era también incontable y que cada conjunto de los reales que podía "imaginar" era o bien contable o bien de tamaño $\mathfrak{c}$ por lo que es natural preguntarse si $\mathfrak{c}$ es en realidad igual al primero cardinalidad incontable. De ahí nació la Hipótesis del Continuo (CH), que resultó ser indecidible (independientemente de ZFC, más precisamente).

De haberlo sabido, Cantor se habría sentido decepcionado, imagino. Era más bien platonista, filosóficamente, y creía en un valor de verdad definido, por lo que he leído en su biografía.