Consideremos una categoría cuyos únicos isomorfismos son identidades. Los únicos ejemplos que se me ocurren son categorías generadas libremente por un grafo. ¿Son todas estas categorías libres en este sentido?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Consideremos el orden lineal denso $\mathbb{Q}$ como categoría. Como es un conjunto parcialmente ordenado, todo isomorfismo es la identidad, y además, todo endomorfismo es la identidad. Sin embargo, tampoco es la categoría libre en ningún grafo porque todo morfismo que no sea identidad puede factorizarse de forma no trivial. (La categoría libre sobre un grafo acíclico debe tener morfismos "irreducibles" que no pueden factorizarse más, y la categoría libre sobre un grafo no acíclico tendría endomorfismos no triviales).
