Teorema de Berg de Weyl-von Neumann y densidad de los valores propios

Question

Estoy leyendo esta obra expositiva Numerical Range of Operators de Paul Skoufranis ( ver esto ). He aquí el teorema y la prueba en los que estoy trabajando:

Teorema 2.11 Sea $N \in B(\mathcal{H})$ sea un operador normal. Entonces $\overline{W(N)} = conv(\sigma(N))$

Prueba: Por el Teorema de Berg de Weyl-von Neumann, existe un operador diagonal normal $D$ tal que $N$ y $D$ son aproximadamente equivalentes unitariamente y $\sigma (N) = \sigma (D)$ . Por lo tanto, por el teorema 2.10, $\overline{W(N)} = \overline{W(D)}$ . Sin embargo, según el ejemplo 2.7, $W(D)$ es el casco convexo de los valores propios $\{a_n\}_{n \ge 1}$ de $D$ . Dado que los valores propios de $D$ son densos en el espectro de $D$ es evidente que $$\overline{W(D)} = \overline{conv (\{a_n\}_{n \ge 1})} = \overline{conv(\sigma (N))} = conv(\sigma (N))$$ como $\sigma(N)$ es un subconjunto compacto de $\Bbb{C}$ por lo que su casco convexo es cerrado. Por lo tanto, el resultado es completo.

En primer lugar, ¿alguien sabe de una buena declaración de la Weyl-von Neumann Berg-Teorema y prueba de la misma (referencias sería apreciada). En segundo lugar, ¿por qué los valores propios de $D$ denso en $\sigma (D)$ ?

Answer 1

Para la primera pregunta, véase Teorema de Weyl-Von Neumann y sus referencias. Para la segunda, si $D$ es un operador diagonal en un espacio de Hilbert con valores propios $(\lambda_i)_i\in I$ entonces su espectro $\sigma(D)$ es exactamente el cierre del conjunto $\Lambda\subset \mathbb C$ de sus valores propios. En efecto, como el espectro de un operador acotado es cerrado, $\sigma(D)\supseteq \overline\Lambda$ . Para la otra inclusión $(e_i)_{i\in I}$ sea su base propia. Si $\lambda\not\in \overline{\Lambda}$ entonces el operador definido por $$ R_\lambda e_i:= \frac{1}{\lambda_i-\lambda}\cdot e_i $$ es claramente la inversa de $D-\lambda\cdot\mathrm{id}$ Así que $\lambda\not\in\sigma(D)$ .